Olimpíadas ⇒ (China) Polinômios Tópico resolvido

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Qual é o valor de [tex3]\frac{1}{2^{1990}}\sum_{n=0}^{995}\begin{pmatrix}
1990 \\
2n \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2^{1990}}\sum_{n=0}^{995}\begin{pmatrix}
1990 \\
2n \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Resposta

---

-1/2

[Ittalo25]

[tex3](1-1)^{1990}=\sum_{n=0}^{995}\begin{pmatrix}
1990 \\
2n \\
\end{pmatrix}-\sum_{k=1}^{995}\begin{pmatrix}
1990 \\
2k-1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](1-1)^{1990}=\sum_{n=0}^{995}\begin{pmatrix}
1990 \\
2n \\
\end{pmatrix}-\sum_{k=1}^{995}\begin{pmatrix}
1990 \\
2k-1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

[tex3](1+1)^{1990}=\sum_{n=0}^{995}\begin{pmatrix}
1990 \\
2n \\
\end{pmatrix}+\sum_{k=1}^{995}\begin{pmatrix}
1990 \\
2k-1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](1+1)^{1990}=\sum_{n=0}^{995}\begin{pmatrix}
1990 \\
2n \\
\end{pmatrix}+\sum_{k=1}^{995}\begin{pmatrix}
1990 \\
2k-1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Somando os 2:

[tex3]2^{1990} = 2\sum_{n=0}^{995}\begin{pmatrix}
1990 \\
2n \\
\end{pmatrix}[/tex3]

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[tex3]2^{1990} = 2\sum_{n=0}^{995}\begin{pmatrix}
1990 \\
2n \\
\end{pmatrix}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2} = \frac{1}{2^{1990}}\sum_{n=0}^{995}\begin{pmatrix}
1990 \\
2n \\
\end{pmatrix}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{2} = \frac{1}{2^{1990}}\sum_{n=0}^{995}\begin{pmatrix}
1990 \\
2n \\
\end{pmatrix}[/tex3]