Olimpíadas

Seja P um polinômio com coeficientes inteiros, mostre que se P(-1), P(0) e P(1) não são divisíveis por 3, então P não admite raíz inteira.

uma solução possível é notar que {-1, 0, 1} forma um sistema completo de resíduos módulo 3 e pegar a expressão geral do polinômio, então se supor que temos uma raiz, não importa seu resto na divisão por 3 dessa raiz, ao reduzir o grau dos termos vamos cair na congruência [tex3]P(m)\equiv P(a)(\mod3)[/tex3] onde a = 1 ou -1 ou 0 mas isso é um absurdo pois P(a) não é divisível por 3 enquanto se P(m) = 0, P(m) é divisível por 3.

Mensagem não lidapor **Ittalo25** » 03 Mai 2021, 17:04 · Mensagem não lida por **Ittalo25** » 03 Mai 2021, 17:04

Existe um truque bem conhecido e simples de ser provado:
Se P(x) tem coeficientes inteiros e a e b são inteiros, então: [tex3]a-b|P(a)-P(b) [/tex3]

Veja:
[tex3]3|P(3) - P(0) [/tex3]
Como 3 não divide P(0), então 3 não divide P(3)
[tex3]3|P(2) - P(-1) [/tex3]
Como 3 não divide P(-1), então 3 não divide P(2)
[tex3]3|P(4) - P(1) [/tex3]
Como 3 não divide P(1), então 3 não divide P(4)
[tex3]3|P(1) - P(-2) [/tex3]
Como 3 não divide P(1), então 3 não divide P(-2)

Então se [tex3]P(a) [/tex3] , com [tex3]a \equiv 1 \mod(3) [/tex3] , tome [tex3]P(1) [/tex3] .
Assim [tex3]a-1 [/tex3] será múltiplo de 3, ou seja [tex3]3|P(a)-P(1) [/tex3] , mas então 3 não divide [tex3]P(a) [/tex3]

Analogamente para [tex3]P(-1) [/tex3] e [tex3]P(0) [/tex3]

Sendo assim, 3 nunca divide [tex3]P(x) [/tex3] para x inteiro. Ou seja, [tex3]P(x) [/tex3] nunca vai ser igual a zero para x inteiro.

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