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2
Olimpíadas ⇒ (Romênia) Polinômios Tópico resolvido
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Mai 2021
03
09:59
(Romênia) Polinômios
Seja alfa um número real tal que [tex3]\alpha ^3-\alpha -1=0[/tex3]
. Então, o valor numérico de [tex3]\sqrt[3]{3\alpha ^2-4\alpha }+\alpha \sqrt[4]{2\alpha ^2+3\alpha +2}[/tex3]
é igual a
2
2
Mai 2021
03
14:21
Re: (Romênia) Polinômios
[tex3]\sqrt[3]{3\alpha ^2-4\alpha }=[/tex3]
[tex3]\sqrt[3]{3\alpha ^2 -3\alpha -\alpha }=[/tex3]
[tex3]\sqrt[3]{3\alpha ^2 -3\alpha-\alpha^3+1 }=[/tex3]
[tex3]\sqrt[3]{-(\alpha-1)^3 }=[/tex3]
[tex3]-\alpha + 1[/tex3]
[tex3]\alpha \sqrt[4]{2\alpha ^2+3\alpha +2}=[/tex3]
[tex3]\alpha \sqrt[4]{\alpha ^2+\alpha ^2+3\alpha +2}=[/tex3]
[tex3]\alpha \sqrt[4]{\alpha ^4-\alpha+\alpha ^2+3\alpha +2}=[/tex3]
[tex3]\alpha \sqrt[4]{\alpha ^4+\alpha ^2+2(\alpha +1)}=[/tex3]
[tex3]\alpha \sqrt[4]{\alpha ^4+2\alpha ^3 + \alpha ^2}=[/tex3]
[tex3]\alpha \sqrt[4]{\alpha ^2 \cdot (\alpha+1)^2}=[/tex3]
[tex3]\alpha \sqrt[4]{\alpha ^2 \cdot (\alpha ^3)^2}=[/tex3]
[tex3]\alpha \sqrt[4]{\alpha ^8}=[/tex3]
[tex3]\alpha ^3= \alpha + 1[/tex3]
Então:
[tex3]\sqrt[3]{3\alpha ^2-4\alpha }+\alpha \sqrt[4]{2\alpha ^2+3\alpha +2}=-\alpha + 1+ \alpha + 1= \boxed{2}[/tex3]
[tex3]\sqrt[3]{3\alpha ^2 -3\alpha -\alpha }=[/tex3]
[tex3]\sqrt[3]{3\alpha ^2 -3\alpha-\alpha^3+1 }=[/tex3]
[tex3]\sqrt[3]{-(\alpha-1)^3 }=[/tex3]
[tex3]-\alpha + 1[/tex3]
[tex3]\alpha \sqrt[4]{2\alpha ^2+3\alpha +2}=[/tex3]
[tex3]\alpha \sqrt[4]{\alpha ^2+\alpha ^2+3\alpha +2}=[/tex3]
[tex3]\alpha \sqrt[4]{\alpha ^4-\alpha+\alpha ^2+3\alpha +2}=[/tex3]
[tex3]\alpha \sqrt[4]{\alpha ^4+\alpha ^2+2(\alpha +1)}=[/tex3]
[tex3]\alpha \sqrt[4]{\alpha ^4+2\alpha ^3 + \alpha ^2}=[/tex3]
[tex3]\alpha \sqrt[4]{\alpha ^2 \cdot (\alpha+1)^2}=[/tex3]
[tex3]\alpha \sqrt[4]{\alpha ^2 \cdot (\alpha ^3)^2}=[/tex3]
[tex3]\alpha \sqrt[4]{\alpha ^8}=[/tex3]
[tex3]\alpha ^3= \alpha + 1[/tex3]
Então:
[tex3]\sqrt[3]{3\alpha ^2-4\alpha }+\alpha \sqrt[4]{2\alpha ^2+3\alpha +2}=-\alpha + 1+ \alpha + 1= \boxed{2}[/tex3]
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
Jun 2021
21
13:04
Re: (Romênia) Polinômios
Ittalo25 escreveu: ↑Seg 03 Mai, 2021 14:21[tex3]\sqrt[3]{3\alpha ^2-4\alpha }=[/tex3]
[tex3]\sqrt[3]{3\alpha ^2 -3\alpha -\alpha }=[/tex3]
[tex3]\sqrt[3]{3\alpha ^2 -3\alpha-\alpha^3+1 }=[/tex3]
[tex3]\sqrt[3]{-(\alpha-1)^3 }=[/tex3]
[tex3]-\alpha + 1[/tex3]
[tex3]\alpha \sqrt[4]{2\alpha ^2+3\alpha +2}=[/tex3]
[tex3]\alpha \sqrt[4]{\alpha ^2+\alpha ^2+3\alpha +2}=[/tex3]
[tex3]\alpha \sqrt[4]{\alpha ^4-\alpha+\alpha ^2+3\alpha +2}=[/tex3] ---> poderia me explicar como o alfa elevado a 2 se tornou alfa elevado a 4 menos alfa?
[tex3]\alpha \sqrt[4]{\alpha ^4+\alpha ^2+2(\alpha +1)}=[/tex3]
[tex3]\alpha \sqrt[4]{\alpha ^4+2\alpha ^3 + \alpha ^2}=[/tex3]
[tex3]\alpha \sqrt[4]{\alpha ^2 \cdot (\alpha+1)^2}=[/tex3]
[tex3]\alpha \sqrt[4]{\alpha ^2 \cdot (\alpha ^3)^2}=[/tex3]
[tex3]\alpha \sqrt[4]{\alpha ^8}=[/tex3]
[tex3]\alpha ^3= \alpha + 1[/tex3]
Então:
[tex3]\sqrt[3]{3\alpha ^2-4\alpha }+\alpha \sqrt[4]{2\alpha ^2+3\alpha +2}=-\alpha + 1+ \alpha + 1= \boxed{2}[/tex3]
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