Olimpíadas(9º Torneio Harvard/MIT) Polinômios Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Mai 2021 03 09:57

(9º Torneio Harvard/MIT) Polinômios

Mensagem não lida por Deleted User 23699 »

a, b e c as raízes de [tex3]x^3-9x^2+11x-1=0[/tex3] e [tex3]s=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}[/tex3] . O valor de [tex3]s^4-18s^2-8s[/tex3] é
Resposta

-37




jpedro09
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Mai 2021 03 10:11

Re: (9º Torneio Harvard/MIT) Polinômios

Mensagem não lida por jpedro09 »

Pelas relações de Girrard:

[tex3]a+b+c=9[/tex3]
[tex3]ab+ac+bc=11[/tex3]
[tex3]abc=1[/tex3]


[tex3]s=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \Rightarrow s^{2}=a+b+c+2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\Rightarrow s^{2}= 9+2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})[/tex3]
[tex3]s^{2}-9=2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \Rightarrow s^{4}-18s^{2}+81=4(ab+ac+bc+2(\sqrt{a^{2}bc}+\sqrt{ab^{2}c}+\sqrt{abc^{2}})[/tex3]
[tex3]s^{4}-18s^{2}+81=4(11+2\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}))\Rightarrow s^{4}-18s^{2}+81=4(11+2s) \Rightarrow s^{4}-18s^{2}-8s=-37[/tex3]




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