Olimpíadas(Stanford) Polinômios Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Mai 2021 02 00:10

(Stanford) Polinômios

Mensagem não lida por Deleted User 23699 »

Se r, s, t e u são as raízes do polinômio [tex3]f(x)=x^4+3x^3+3x+2[/tex3] , determine o valor da expressão [tex3]\frac{1}{r^2}+\frac{1}{s^2}+\frac{1}{t^2}+\frac{1}{u^2}[/tex3]
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NigrumCibum
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Re: (Stanford) Polinômios

Mensagem não lida por NigrumCibum »

[tex3]\frac{1}{r^2}+\frac{1}{s^2}+\frac{1}{t^2}+\frac{1}{u^2}=\frac{(stu)^2+(rtu)^2+(rsu)^2+(rst)^2}{(rstu)^2}[/tex3] , mas como [tex3]a^2+b^2+c^2+d^2=(a+b+c+d)^2-2(ab+ac+bc+ad+bd+cd)[/tex3] , então a nossa soma fica definida por [tex3]\frac{(stu+rtu+rsu+rst)^2-2(rstu)(rs+rt+ru+st+su+tu)}{(rstu)}[/tex3] , no entanto, pelas relações de Girard, sabemos que:
[tex3]stu+rtu+rsu+rst=\frac{-3}{1}=-3[/tex3]
[tex3]rstu=\frac{2}{1}=2[/tex3]
[tex3]rs+rt+ru+st+su+tu=\frac{0}{1}=0.[/tex3]
Portanto [tex3]\frac{1}{r^2}+\frac{1}{s^2}+\frac{1}{t^2}+\frac{1}{u^2}=\frac{(-3)^2-2(2)(0)}{2^2}=\frac{9}{4}.[/tex3]



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