Olimpíadas(Cone Sul) Polinômios Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Mai 2021 02 00:06

(Cone Sul) Polinômios

Mensagem não lida por Deleted User 23699 »

Calcule o produto das raízes inteiras da equação irracional

[tex3]\sqrt[3]{13x+37}-\sqrt[3]{13x-37}=\sqrt[3]{2}[/tex3]
Resposta

-49
OBS: Gostaria de uma solução por GIRARD/SOMA DE NEWTON

Última edição: Deleted User 23699 (Dom 02 Mai, 2021 00:07). Total de 1 vez.



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NigrumCibum
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Re: (Cone Sul) Polinômios

Mensagem não lida por NigrumCibum »

Seja [tex3]a=\sqrt[3]{13x+37}[/tex3] e [tex3]b=\sqrt[3]{13x-37}[/tex3] assim:
[tex3]\begin{cases}a-b=\sqrt[3]{2}\\ a^3-b^3=74\end{cases}[/tex3]
Elevando a primeira igualdade ao cubo, ficamos com: [tex3](a-b)^3=2⇒a^3-b^3+3(ab^2-ba^2)=2⇒3(ab^2-ba^2)=-72⇒ab(a-b)=24⇒ab=12\sqrt[3]{4}[/tex3] o que nos deixa com o seguinte sistema:
[tex3]\begin{cases}a-b=\sqrt[3]{2}\\ ab=12\sqrt[3]{4}\end{cases}[/tex3]
Resolvendo o sistema, obtemos [tex3](a_1, ~b_1)=(-3\sqrt[3]{2},~-4\sqrt[3]{2})[/tex3] e [tex3](a_2,~b_2)=(4\sqrt[3]{2},~3\sqrt[3]{2}).[/tex3]
Substituindo, encontramos que as únicas soluções possíveis serão [tex3]x_1=-7[/tex3] e [tex3]x_2=7[/tex3] , o que implica que [tex3]P=(-7)7=-49.[/tex3]

Última edição: NigrumCibum (Dom 02 Mai, 2021 18:54). Total de 2 vezes.


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