Olimpíadas ⇒ (Cone Sul) Polinômios Tópico resolvido

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Calcule o produto das raízes inteiras da equação irracional

[tex3]\sqrt[3]{13x+37}-\sqrt[3]{13x-37}=\sqrt[3]{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt[3]{13x+37}-\sqrt[3]{13x-37}=\sqrt[3]{2}[/tex3]

Resposta

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-49

OBS: Gostaria de uma solução por GIRARD/SOMA DE NEWTON

[NigrumCibum]

Seja [tex3]a=\sqrt[3]{13x+37}[/tex3]

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[tex3]a=\sqrt[3]{13x+37}[/tex3]

e [tex3]b=\sqrt[3]{13x-37}[/tex3]

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[tex3]b=\sqrt[3]{13x-37}[/tex3]

assim:
[tex3]\begin{cases}a-b=\sqrt[3]{2}\\ a^3-b^3=74\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}a-b=\sqrt[3]{2}\\ a^3-b^3=74\end{cases}[/tex3]

Elevando a primeira igualdade ao cubo, ficamos com: [tex3](a-b)^3=2⇒a^3-b^3+3(ab^2-ba^2)=2⇒3(ab^2-ba^2)=-72⇒ab(a-b)=24⇒ab=12\sqrt[3]{4}[/tex3]

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[tex3](a-b)^3=2⇒a^3-b^3+3(ab^2-ba^2)=2⇒3(ab^2-ba^2)=-72⇒ab(a-b)=24⇒ab=12\sqrt[3]{4}[/tex3]

o que nos deixa com o seguinte sistema:
[tex3]\begin{cases}a-b=\sqrt[3]{2}\\ ab=12\sqrt[3]{4}\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}a-b=\sqrt[3]{2}\\ ab=12\sqrt[3]{4}\end{cases}[/tex3]

Resolvendo o sistema, obtemos [tex3](a_1, ~b_1)=(-3\sqrt[3]{2},~-4\sqrt[3]{2})[/tex3]

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[tex3](a_1, ~b_1)=(-3\sqrt[3]{2},~-4\sqrt[3]{2})[/tex3]

e [tex3](a_2,~b_2)=(4\sqrt[3]{2},~3\sqrt[3]{2}).[/tex3]

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[tex3](a_2,~b_2)=(4\sqrt[3]{2},~3\sqrt[3]{2}).[/tex3]

Substituindo, encontramos que as únicas soluções possíveis serão [tex3]x_1=-7[/tex3]

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[tex3]x_1=-7[/tex3]

e [tex3]x_2=7[/tex3]

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[tex3]x_2=7[/tex3]

, o que implica que [tex3]P=(-7)7=-49.[/tex3]

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[tex3]P=(-7)7=-49.[/tex3]