Olimpíadas(APMO) Polinômios Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Autor do Tópico
Deleted User 23699
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Mai 2021 02 00:04

(APMO) Polinômios

Mensagem não lida por Deleted User 23699 »

Se as raízes do polinômio [tex3]P(x)=x^8-4x^7+7x^6+a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0[/tex3] são números reais e positivos. Calcule o valor de [tex3]1024.a_0[/tex3]

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Resposta

D




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Ittalo25
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Mai 2021 02 15:24

Re: (APMO) Polinômios

Mensagem não lida por Ittalo25 »

Se as raízes são [tex3]x_1,x_2,x_3,x_4,....,x_8 [/tex3]
então pelas relações de Girrard:
[tex3]x_1^2+x_2^2+....+x_7^2+x_8^2 = 4^2-2\cdot 7 = 2 [/tex3]
Como são todos positivos, pela desigualdade entre média quadrática e aritmética:
[tex3]\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+....+x_7^2+x_8^2 }{8}}\geq \frac{x_1+x_2+....+x_7+x_8}{8}[/tex3]
[tex3]\sqrt{\frac{2 }{8}}\geq \frac{4}{8}[/tex3]
Se ocorre a igualdade, então: [tex3]x_1=x_2=x_3=x_4=....=x_8 = \frac{1}{2} [/tex3]
Portanto: [tex3]1024\cdot a_0 = 1024 \cdot \frac{1}{2^8} = \boxed{4}[/tex3]



Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

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