Olimpíadas ⇒ (APMO) Polinômios Tópico resolvido

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Se as raízes do polinômio [tex3]P(x)=x^8-4x^7+7x^6+a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0[/tex3]

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[tex3]P(x)=x^8-4x^7+7x^6+a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0[/tex3]

são números reais e positivos. Calcule o valor de [tex3]1024.a_0[/tex3]

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[tex3]1024.a_0[/tex3]

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

Resposta

---

D

[Ittalo25]

Se as raízes são [tex3]x_1,x_2,x_3,x_4,....,x_8 [/tex3]

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[tex3]x_1,x_2,x_3,x_4,....,x_8 [/tex3]

então pelas relações de Girrard:
[tex3]x_1^2+x_2^2+....+x_7^2+x_8^2 = 4^2-2\cdot 7 = 2 [/tex3]

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[tex3]x_1^2+x_2^2+....+x_7^2+x_8^2 = 4^2-2\cdot 7 = 2 [/tex3]

Como são todos positivos, pela desigualdade entre média quadrática e aritmética:
[tex3]\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+....+x_7^2+x_8^2 }{8}}\geq \frac{x_1+x_2+....+x_7+x_8}{8}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+....+x_7^2+x_8^2 }{8}}\geq \frac{x_1+x_2+....+x_7+x_8}{8}[/tex3]

[tex3]\sqrt{\frac{2 }{8}}\geq \frac{4}{8}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{\frac{2 }{8}}\geq \frac{4}{8}[/tex3]

Se ocorre a igualdade, então: [tex3]x_1=x_2=x_3=x_4=....=x_8 = \frac{1}{2} [/tex3]

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[tex3]x_1=x_2=x_3=x_4=....=x_8 = \frac{1}{2} [/tex3]

Portanto: [tex3]1024\cdot a_0 = 1024 \cdot \frac{1}{2^8} = \boxed{4}[/tex3]

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[tex3]1024\cdot a_0 = 1024 \cdot \frac{1}{2^8} = \boxed{4}[/tex3]