Olimpíadas(Canadá) Polinômios Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Autor do Tópico
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Mai 2021 01 23:58

(Canadá) Polinômios

Mensagem não lida por Deleted User 23699 »

Sabendo que a equação [tex3]\sqrt[3]{x+4}-\sqrt[3]{x}=1[/tex3] tem a e b como as únicas raízes. Então, o algarismo das unidades de [tex3]a^{2016}+b^{2016}[/tex3] vale
a) 1
b) 2
c) 4
d) 6
e) 8
Resposta

B

OBS.: Eu gostaria da solução usando SOMAS DE NEWTON. Elevar ao cubo vai gerar algo muito trabalhoso.




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Ittalo25
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Mai 2021 02 15:09

Re: (Canadá) Polinômios

Mensagem não lida por Ittalo25 »

Se fizer [tex3]\begin{cases}
\sqrt[3]{x+4}=c \\
\sqrt[3]{x} = d
\end{cases}[/tex3] , então [tex3]\begin{cases}
c-d=1 \\
c^3-d^3=4
\end{cases}[/tex3]

Portanto:
[tex3]c^3-d^3=4 [/tex3]
[tex3](c-d)(c^2+d^2+cd)=4 [/tex3]
[tex3]c^2+d^2+cd=4 [/tex3]
[tex3](c-d)^2+3cd=4 [/tex3]
[tex3]cd=1 [/tex3]

Então:
[tex3]\frac{1}{d} - d = 1 [/tex3]
[tex3]d = \sqrt[3]{x} = \frac{1\pm \sqrt{5}}{2}[/tex3]
[tex3]d^3 = x = 2\pm \sqrt{5}[/tex3]

[tex3]a^{2016}+b^{2016} = (2+\sqrt{5})^{2016}+(2-\sqrt{5})^{2016}[/tex3]
O polinômio com essas raízes então é: [tex3]x^2-4x-1=0 [/tex3] . Mas não sei se tem um jeito de fazer pelas somas de Newton. Acredito que precisaria encontrar [tex3]S_2, S_3, S_4, S_4, ....S_{2016} [/tex3] . Isso até onde eu sei, talvez exista alguma mágica que eu não conheça.

Mas pelo binômio de Newton é bem simples.
Então: [tex3](2+\sqrt{5})^{2016}+(2-\sqrt{5})^{2016} = \sum_{i=0}^{2016}C_{i}^{2016}\cdot 2^{2016-i} \cdot (\sqrt{5})^i+\sum_{i=0}^{2016}C_{i}^{2016}\cdot 2^{2016-i} \cdot (-\sqrt{5})^i[/tex3]

Para i ímpar, [tex3](-\sqrt{5})^i[/tex3] vai ficar negativo e então vai ser cancelado com o primeiro somatório.
Para i par, exceto zero, [tex3]2\cdot (\sqrt{5})^i [/tex3] , vai ser múltiplo de dez, ou seja, não vai fazer diferença no algarismo das unidades.
Sobra então o caso em que i é igual a zero:

[tex3]C_{0}^{2016}\cdot 2^{2016} +C_{0}^{2016}\cdot 2^{2016} = 2^{2017}[/tex3]

Então queremos: [tex3]2^{2017} \mod(10)[/tex3]
Mas
[tex3]2^{5} \equiv 2 \mod(10)[/tex3]
[tex3]2^{25} \equiv 2^5 \equiv 2 \mod(10)[/tex3]
[tex3]2^{125} \equiv 2^{25} \equiv 2^5 \equiv 2 \mod(10)[/tex3]
[tex3]2^{625} \equiv 2^{125} \equiv 2^{25} \equiv 2^5 \equiv 2 \mod(10)[/tex3]

Sendo assim:
[tex3]2^{2017} = 2^{625} \cdot 2^{625} \cdot 2^{625} \cdot 2^{125} \cdot 2^5 \cdot 2^5 \cdot 2^5 \cdot 2^2 \mod(10)[/tex3]
[tex3]2^7 \cdot 2^2 = 2^9 =512 \equiv \boxed{2 \mod(10)}[/tex3]



Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

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NigrumCibum
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Mai 2021 02 15:54

Re: (Canadá) Polinômios

Mensagem não lida por NigrumCibum »

Ittalo25,
[tex3]S_1=-4≡6~(\mod. 10)[/tex3]
[tex3]S_2=18≡8~(\mod. 10)[/tex3]
[tex3]S_3=-76≡4~(\mod. 10)[/tex3]
[tex3]S_4=322≡2~(\mod. 10)[/tex3]
[tex3]S_5=-1364≡6~(\mod. 10)[/tex3]
[tex3]\dots[/tex3]
Como vai se repetindo de 4 em 4 [tex3]S_{2016}≡2~(\mod. 10)[/tex3]


Arrêter le temps!

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NigrumCibum
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Mai 2021 02 18:22

Re: (Canadá) Polinômios

Mensagem não lida por NigrumCibum »

Ittalo25, você errou na solução de d, na verdade [tex3]d=\frac{-1±\sqrt 5}{2}[/tex3]



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