Olimpíadas

Sejam a, b e c reais tais que
[tex3]a^{12}+b^{12}+c^{12}=8\\
\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{abc}=\frac{-6}{a+b+c}[/tex3]
Determine o valor numérico de [tex3]a^6+b^6+c^6[/tex3]

Resposta

04

Essa segunda expressão quer nos dizer alguma coisa, então vamos simplificá-la:
[tex3]\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{abc}=\frac{-6}{a+b+c}⇒(a+b+c)(2(a^2+b^2+c^2-(ab+ac+bc))=-6abc.[/tex3]
A identidade de Gauss diz que [tex3]a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-(ab+ac+bc))[/tex3] , então a nossa equação fica definida por: [tex3]2(a^3+b^3+c^3-3abc)=-6abca^3+b^3+c^3=0.[/tex3]
Elevando a igualdade obtida ao quadrado, obtemos: [tex3]a^6+b^6+c^6=-2[(ab)^3+(ac)^3+(bc)^3][/tex3] , elevando esta última igualdade ao quadrado, obtém-se: [tex3](a^6+b^6+c^6)^2=8+2[(ab)^6+(ac)^6+(bc)^6].[/tex3]
Seja [tex3](ab)^3=x, ~(ac)^3=y, ~(bc)^3=z[/tex3] , então: [tex3]4(x+y+z)^2=8+2(x^2+y^2+z^2)⇒x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)+2(xy+yz+xz)=4⇒(x+y+z)^2+2(xy+yz+xz)=4.[/tex3]
É fácil ver que [tex3](x+y+z)^2=(\frac{a^6+b^6+c^6}{2})^2[/tex3] , mas e [tex3]2(xy+yz+xz)[/tex3] ? Vamos usar o resultado [tex3]a^3+b^3+c^3=0[/tex3] para se livrar dessa coisa.
Primeiro observe que [tex3]xy+yz+xz=a^6(bc)^3+b^6(ac)^3+c^6(ab)^3[/tex3] , no entanto [tex3]a^3+b^3=-c^3⇒(a^3+b^3)^2=c^6⇒(ab)^3=\frac{c^6-a^6-b^6}{2}[/tex3] , analogamente [tex3](ac)^3=\frac{b^6-a^6-c^6}{2}[/tex3] e [tex3](bc)^3=\frac{a^6-b^6-c^6}{2}[/tex3] , então [tex3]2(xy+yz+xz)=a^6(a^6-b^6-c^6)+b^6(b^6-a^6-c^6)+c^6(c^6-a^6-b^6)⇒2(xy+yz+xz)=a^{12}+b^{12}+c^{12}-2[(ab)^6+(ac)^6+(bc)^6][/tex3] , no entanto [tex3]2[(ab)^6+(ac)^6+(bc)^6]=(a^6+b^6+c^6)^2-8[/tex3] , então [tex3]2(xy+yz+xz)=16-(a^6+b^6+c^6)^2.[/tex3]
Portanto [tex3](\frac{a^6+b^6+c^6}{2})^2-(a^6+b^6+c^6)^2+16=4[/tex3] , o que implica que [tex3]a^6+b^6+c^6=4.[/tex3]

Eu gostei muito dessa questão, aprendi muito com ela.

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