Olimpíadas ⇒ (AIME) Fatoração Tópico resolvido

[Deleted User 23699]

Sabendo que a, b, x e y são números reais que satisfazem o sistema de equações:

[tex3]\begin{cases}
ax+by=2 \\
ax^2+by^2=20 \\
ax^3+by^3=56 \\
ax^4+by^4=272
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
ax+by=2 \\
ax^2+by^2=20 \\
ax^3+by^3=56 \\
ax^4+by^4=272
\end{cases}[/tex3]

Calcule [tex3]ax^5+by^5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ax^5+by^5[/tex3]

Resposta

---

992

[Ittalo25]

[tex3]\begin{cases}
ax+by=2 \\
ax^2+by^2=2^2 \cdot 5 \\
ax^3+by^3=2^3 \cdot 7 \\
ax^4+by^4=2^4 \cdot 17
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
ax+by=2 \\
ax^2+by^2=2^2 \cdot 5 \\
ax^3+by^3=2^3 \cdot 7 \\
ax^4+by^4=2^4 \cdot 17
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
ax+by=2\cdot (2-1) \\
ax^2+by^2=2^2 \cdot (4+1) \\
ax^3+by^3=2^3 \cdot (8-1) \\
ax^4+by^4=2^4 \cdot (16+1)
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
ax+by=2\cdot (2-1) \\
ax^2+by^2=2^2 \cdot (4+1) \\
ax^3+by^3=2^3 \cdot (8-1) \\
ax^4+by^4=2^4 \cdot (16+1)
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
ax+by=2^2-2^1 \\
ax^2+by^2=2^4+2^2 \\
ax^3+by^3=2^6-2^3 \\
ax^4+by^4=2^8+2^4
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
ax+by=2^2-2^1 \\
ax^2+by^2=2^4+2^2 \\
ax^3+by^3=2^6-2^3 \\
ax^4+by^4=2^8+2^4
\end{cases}[/tex3]

Claramente uma possível solução: [tex3]\begin{cases}
a=1 \\
x=2^2 \\
b=1 \\
y=-2
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
a=1 \\
x=2^2 \\
b=1 \\
y=-2
\end{cases}[/tex3]

Portanto: [tex3]ax^5+by^5 = 2^{10} - 2^{5} = \boxed{992}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ax^5+by^5 = 2^{10} - 2^{5} = \boxed{992}[/tex3]