Olimpíadas(EUA) Fatoração Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Abr 2021 30 16:21

(EUA) Fatoração

Mensagem não lida por Deleted User 23699 »

Se [tex3](x^2-9x-1)^{10}+99x^{10}=10x^9(x^2-1)[/tex3] o número de raízes reais da equação é

a) 0
b) 2
c) 4
d) 6
e) 8
Resposta

C




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Ittalo25
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Mai 2021 03 15:14

Re: (EUA) Fatoração

Mensagem não lida por Ittalo25 »

[tex3](x^2-9x-1)^{10}+99x^{10}=10x^9(x^2-1)[/tex3]
[tex3](x^2-9x-1)^{10}+9x^{10}=10x^9(x^2-9x-1)[/tex3]
Dividindo tudo por [tex3]x^{10} [/tex3] :
[tex3](x-9-\frac{1}{x})^{10}+9=10(x-9-\frac{1}{x})[/tex3]
[tex3]y^{10}=10y-9[/tex3]
Do lado esquerdo uma parábola degenerada, do lado direito uma reta.
Então existem no máximo 2 intersecções.
Uma intersecção é óbvia: [tex3]y=1[/tex3] , mas:
[tex3]\frac{d}{dy} \space y^{10} = 10y^{9}[/tex3]
o que para para [tex3]y=1[/tex3] dá: [tex3]10y^9 = 10 \cdot 1^9 = 10[/tex3]
Que é o coeficiente angular de [tex3]10y-9[/tex3]
Portanto os 2 gráficos são tangentes, sendo assim [tex3]y=1[/tex3] é solução única.

Finalmente:
[tex3]x-9-\frac{1}{x} = 1[/tex3]
[tex3]\boxed{x = 5 \pm \sqrt{26}} [/tex3] são as soluções reais.



Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

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