Olimpíadas(Hong Kong) Fatoração Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Abr 2021 30 09:25

(Hong Kong) Fatoração

Mensagem não lida por Deleted User 23699 »

Se (x1, y1) , (x2, y2) e (x3, y3) são soluções reais e distintas do sistema de equações [tex3]\begin{cases}
x^3-5xy^2=21 \\
y^3-5x^2y=28
\end{cases}[/tex3]
Então a soma dos algarismos do resultado da expressão [tex3]\left(11-\frac{x_1}{y_1}\right)\left(11-\frac{x_2}{y_2}\right)\left(11-\frac{x_3}{y_3}\right)[/tex3] é igual a
a) 18
b) 19
c) 20
d) 21
e) 22
Resposta

B




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Ittalo25
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Mai 2021 02 22:56

Re: (Hong Kong) Fatoração

Mensagem não lida por Ittalo25 »

[tex3]\begin{cases}
x^3-5xy^2=21 \\
y^3-5x^2y=28
\end{cases}[/tex3]

Multiplica a primeira por 4 e a segunda por 3:

[tex3]\begin{cases}
4x^3-20xy^2=84 \\
3y^3-15x^2y=84
\end{cases}[/tex3]

Então:
[tex3]4x^3-20xy^2 =3y^3-15x^2y [/tex3]
Obviamente [tex3]x=0 [/tex3] ou [tex3]y=0 [/tex3] não dão solução
Dividindo tudo por [tex3]y^{3}[/tex3]
[tex3]\frac{4x^3}{y^3}-\frac{20x}{y} =3-\frac{15x^2}{y^2} [/tex3]
[tex3]4t^3+15t^2-20t-3=0 [/tex3]

[tex3]\left(11-\frac{x_1}{y_1}\right)\left(11-\frac{x_2}{y_2}\right)\left(11-\frac{x_3}{y_3}\right)=[/tex3]
[tex3]11^3+\frac{15}{4}\cdot 11^2 - \frac{20}{4} \cdot 11-\frac{3}{4} = \boxed{1729}[/tex3]



Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

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