Olimpíadas(EUA) Polinômios Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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(EUA) Polinômios

Mensagem não lida por Deleted User 23699 »

Se x, y e z são números complexos que satisfazem o sistema de equações:

[tex3]\begin{cases}
x+y+z=2 \\
x^2+y^2+z^2=3 \\
xyz=4
\end{cases}[/tex3]
Então o valor numérico de [tex3]\frac{1}{xy+z-1}+\frac{1}{yz+x-1}+\frac{1}{zx+y-1}[/tex3] é

a) 1/9
b) -1/9
c) 2/9
d) -2/9
e) 1/3
Resposta

D. Encontrei o polinômio de terceiro grau que respeita o sistema mas não consegui alguma forma para calcular o somatório.




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leozitz
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Re: (EUA) Polinômios

Mensagem não lida por leozitz »

calculo de coisas para a próxima resposta
[tex3]p_2 = xy + zy + zx[/tex3]
é fácil calcular isso, eleva a primeira equação ao quadrado e usa os dados da segunda.
[tex3]p_2 = \frac 12[/tex3]

[tex3]s = \frac{1}{z} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{xy +yz +zx}{xzy} = \frac{\frac12}{4}=\frac{1}{8}[/tex3]

[tex3]t = x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2[/tex3]

[tex3]p_2^2 = (xy)^2 + 2(xyz^2 + y^2xz+x^2yz) + (yz)^2 + (zx)^2= \frac14[/tex3]
[tex3]t + 2(xyz)(x+y+z)=\frac{1}{4}\\
t =\frac{-63}{4}[/tex3]




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leozitz
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Re: (EUA) Polinômios

Mensagem não lida por leozitz »

como x já foi usado, imagina que a seria oq a gente normalmente usa como x
[tex3]P(a) = (a-x)(a-y)(a-z) = a^3 - a^2 x - a^2 y + a x y - a^2 z + a x z + a y z - x y z\\
= a^3 -2a^2+ap_2-4[/tex3]

[tex3]xy + z - 1 = xy + 2 - x - y - 1 = xy + 1 - x - y = (x-1)(y-1)[/tex3]
opa, isso é muito bom, pq a gente consegue usar frações parciais que é uma ideia que vem a mente vc já vai entender o porque

a gente pode usar isso para as outras variáveis também
vamos ter que a soma que a gente quer é
[tex3]E = \frac{1}{(x-1)(y-1)} + \frac{1}{(x-1)(z-1)} + \frac{1}{(y-1)(z-1)}[/tex3]


[tex3]\frac{A}{x-1} + \frac{B}{y-1} = \frac{1}{(x-1)(y-1)}\\
A(y-1) + B(x-1) = 1\\
Ay - A + Bx -B = 1[/tex3]
se por acaso vc fizer A = B = 1 vc terá y + x - 2 = -z :D


o fato interessante que eu tinha dito anteriormente é que a gente consegue calcular facilemente o valor de
[tex3]f(a) = \frac{1}{a-x} + \frac{1}{a-y} + \frac{1}{a-z}[/tex3] para um a qualquer
[tex3]f(1)\frac{1}{z} = \frac{1}{z(1-x)} + \frac{1}{(1-y)z} + \frac{1}{(1-z)z}[/tex3]

ok, vamos organizar as coisas.
[tex3]f(1)\frac{1}{z} = \frac{1}{z(1-x)} + \frac{1}{(1-y)z} + \frac{1}{(1-z)z} = \frac{1-y+1-x}{z(1-x)(1-y)} + \frac{1}{z(1-z)}\\=\frac{1}{(1-x)(1-y)} + \frac{1}{z(1-z)}[/tex3]
vamos somar de maneira ciclica
[tex3]f(1)\(\frac1z + \frac1x + \frac1y\)=E + \frac{1}{z(1-z)} + \frac{1}{y(1-y)} + \frac{1}{x(1-x)}[/tex3]

precisamos agora calcular [tex3]r = \frac{1}{z(1-z)} + \frac{1}{y(1-y)} + \frac{1}{x(1-x)}[/tex3]
o numerador de r é o seguinte
[tex3]zx(1-x)(1-z) + yz(1-z)(1-y) + yx(1-x)(1-y)[/tex3]
[tex3]=zx -x^2z-z^2x + yz - z^2y-y^2z+yx-x^2y-y^2x + t\\
=p_2+t-zx(x+z)-yz(y+z)-xy(y+x)\\
=p_2 + t - zx(2-y) - yz(2-x) -xy(2-z)\\=p_2 + t - 2p_2+3xyz[/tex3]


vamos calcular agora o valor de [tex3](1-z)(1-x)(1-y) =1 - x - y + x y - z + x z + y z - x y z\\
=1-2+\frac12-4 = \frac{-9}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{f(1)}{8} = E + \frac{p_2 + t - 2p_2+3xyz}{-18}[/tex3]
[tex3]f(a) = \frac{P'(a)}{P(a)}[/tex3]

com isso agora basta descobrir P'(a) que n é difícil e vc tem tudo para terminar de calcular.

talvez tenha um jeito mais rápido de fazer já que esse foi meio trabalhoso




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