como x já foi usado, imagina que a seria oq a gente normalmente usa como x
[tex3]P(a) = (a-x)(a-y)(a-z) = a^3 - a^2 x - a^2 y + a x y - a^2 z + a x z + a y z - x y z\\
= a^3 -2a^2+ap_2-4[/tex3]
[tex3]xy + z - 1 = xy + 2 - x - y - 1 = xy + 1 - x - y = (x-1)(y-1)[/tex3]
opa, isso é muito bom, pq a gente consegue usar frações parciais que é uma ideia que vem a mente vc já vai entender o porque
a gente pode usar isso para as outras variáveis também
vamos ter que a soma que a gente quer é
[tex3]E = \frac{1}{(x-1)(y-1)} + \frac{1}{(x-1)(z-1)} + \frac{1}{(y-1)(z-1)}[/tex3]
[tex3]\frac{A}{x-1} + \frac{B}{y-1} = \frac{1}{(x-1)(y-1)}\\
A(y-1) + B(x-1) = 1\\
Ay - A + Bx -B = 1[/tex3]
se por acaso vc fizer A = B = 1 vc terá y + x - 2 = -z
o fato interessante que eu tinha dito anteriormente é que a gente consegue calcular facilemente o valor de
[tex3]f(a) = \frac{1}{a-x} + \frac{1}{a-y} + \frac{1}{a-z}[/tex3]
para um a qualquer
[tex3]f(1)\frac{1}{z} = \frac{1}{z(1-x)} + \frac{1}{(1-y)z} + \frac{1}{(1-z)z}[/tex3]
ok, vamos organizar as coisas.
[tex3]f(1)\frac{1}{z} = \frac{1}{z(1-x)} + \frac{1}{(1-y)z} + \frac{1}{(1-z)z} = \frac{1-y+1-x}{z(1-x)(1-y)} + \frac{1}{z(1-z)}\\=\frac{1}{(1-x)(1-y)} + \frac{1}{z(1-z)}[/tex3]
vamos somar de maneira ciclica
[tex3]f(1)\(\frac1z + \frac1x + \frac1y\)=E + \frac{1}{z(1-z)} + \frac{1}{y(1-y)} + \frac{1}{x(1-x)}[/tex3]
precisamos agora calcular [tex3]r = \frac{1}{z(1-z)} + \frac{1}{y(1-y)} + \frac{1}{x(1-x)}[/tex3]
o numerador de r é o seguinte
[tex3]zx(1-x)(1-z) + yz(1-z)(1-y) + yx(1-x)(1-y)[/tex3]
[tex3]=zx -x^2z-z^2x + yz - z^2y-y^2z+yx-x^2y-y^2x + t\\
=p_2+t-zx(x+z)-yz(y+z)-xy(y+x)\\
=p_2 + t - zx(2-y) - yz(2-x) -xy(2-z)\\=p_2 + t - 2p_2+3xyz[/tex3]
vamos calcular agora o valor de [tex3](1-z)(1-x)(1-y) =1 - x - y + x y - z + x z + y z - x y z\\
=1-2+\frac12-4 = \frac{-9}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{f(1)}{8} = E + \frac{p_2 + t - 2p_2+3xyz}{-18}[/tex3]
[tex3]f(a) = \frac{P'(a)}{P(a)}[/tex3]
com isso agora basta descobrir P'(a) que n é difícil e vc tem tudo para terminar de calcular.
talvez tenha um jeito mais rápido de fazer já que esse foi meio trabalhoso
)
