Olimpíadas

Achar a se a e b são inteiros, tais que x²-x-1 é fator de [tex3]ax^{17}+bx^{16}+1[/tex3] .

Resposta

987

Seja [tex3]\alpha[/tex3] uma das duas raízes de [tex3]q(x)=x²-x-1[/tex3] . Como [tex3]q(x)|(ax^{17}+bx^{16}+1)[/tex3] , [tex3]\alpha[/tex3] também é raiz deste ultimo.
Vamos encontrar [tex3]\alpha^{16}[/tex3] em função de [tex3]\alpha[/tex3] :
[tex3]\alpha^2-\alpha-1=0\\\alpha^2=\alpha+1\\\alpha^4=\alpha^2+2\alpha+1=3\alpha+2\\\alpha^8=9\alpha^2+12\alpha+4=21\alpha+13\\\alpha^{16}=441\alpha^2+546\alpha+169=987\alpha+610[/tex3]

Agora, faça [tex3]x=\alpha[/tex3] em [tex3](ax^{17}+b^{16}+1)[/tex3] :
[tex3](a.\alpha.\alpha^{16}+b\alpha^{16}+1=a.\alpha(987\alpha+610)+b(987\alpha+610)+1=\\=987a.\alpha^2+\alpha(610a+987b)+610b+1=\\=+\alpha(1597a+987b)+610b+987a+1=0[/tex3]

Agora, com base nessa ultima equação, vamos criar um polinômio [tex3]g(x)[/tex3] da seguinte forma:
[tex3]g(x)=x(1597a+987b)+610b+987a+1[/tex3]

Veja que se [tex3]x=\alpha[/tex3] , [tex3]g(x)=0[/tex3] , logo como [tex3]\alpha[/tex3] pode assumir dois valores ( as duas raízes dex²-x-1), temos que g(x) é um polinômio de grau 1 que tem 2 raízes, oq só pode significar que g(x) é identicamente nulo. Daí:
[tex3]1597a+987b=0\\610b+987a+1=0\\a=987\\b=-1597[/tex3]

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