Olimpíadas ⇒ (EUA) Polinômios Tópico resolvido

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Se ab + ac + bc = 2014 com a ≠ b ≠ c, então o valor da expressão
[tex3]\frac{a^3(b+c)}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^3(c+a)}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^3(a+b)}{(c-a)(c-b)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a^3(b+c)}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^3(c+a)}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^3(a+b)}{(c-a)(c-b)}[/tex3]

vale

a) 1006
b) 1007
c) 2010
d) 2012
e) 2014

Resposta

---

E

[Ittalo25]

[tex3]\frac{a^3(b+c)}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^3(c+a)}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^3(a+b)}{(c-a)(c-b)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a^3(b+c)}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^3(c+a)}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^3(a+b)}{(c-a)(c-b)}[/tex3]

[tex3]\frac{a^2(ab+ac)}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2(bc+ba)}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^2(ca+cb)}{(c-a)(c-b)}[/tex3]

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[tex3]\frac{a^2(ab+ac)}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2(bc+ba)}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^2(ca+cb)}{(c-a)(c-b)}[/tex3]

[tex3]\frac{a^2(2014-bc)}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2(2014-ac)}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^2(2014-ab)}{(c-a)(c-b)}[/tex3]

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[tex3]\frac{a^2(2014-bc)}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2(2014-ac)}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^2(2014-ab)}{(c-a)(c-b)}[/tex3]

[tex3]-\frac{a^2(2014-bc)}{(a-b)(c-a)}-\frac{b^2(2014-ac)}{(b-c)(a-b)}-\frac{c^2(2014-ab)}{(c-a)(b-c)}[/tex3]

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[tex3]-\frac{a^2(2014-bc)}{(a-b)(c-a)}-\frac{b^2(2014-ac)}{(b-c)(a-b)}-\frac{c^2(2014-ab)}{(c-a)(b-c)}[/tex3]

[tex3]-\left(\frac{a^2(2014-bc)\cdot (b-c)+b^2(2014-ac)\cdot (c-a)+c^2(2014-ab)\cdot (a-b)}{(a-b)(c-a)(b-c)}\right)[/tex3]

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[tex3]-\left(\frac{a^2(2014-bc)\cdot (b-c)+b^2(2014-ac)\cdot (c-a)+c^2(2014-ab)\cdot (a-b)}{(a-b)(c-a)(b-c)}\right)[/tex3]

[tex3]-\left(\frac{2014 \cdot (a^2b-a^2c-ab^2+ac^2+b^2c-bc^2)}{(a-b)(c-a)(b-c)}\right)[/tex3]

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[tex3]-\left(\frac{2014 \cdot (a^2b-a^2c-ab^2+ac^2+b^2c-bc^2)}{(a-b)(c-a)(b-c)}\right)[/tex3]

[tex3]2014 [/tex3]

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[tex3]2014 [/tex3]