A superfície de um planeta esférico é dividida entre os países de uma federação, de tal forma que nenhum país engloba outros países, cada país faz fronteira com exatamente três outros e nenhuma...
a) Seja LMN um triangulo tal que LN\leq 1 e MN\leq 1 e LM = x, 0 < x < 2, e K o pé da altura relativa ao lado LM. Mostre que
NK\leq \sqrt{1-\frac{x^2}{4}}
Três faces de um tetraedro regular de aresta 1 são tangentes a uma esfera e o plano que contém a quarta face do tetraedro passa pelo centro da esfera. Determine a superfície total da esfera.
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Observe o seguinte anexo:
abc.jpg
Usaremos a simetria espacial do tetraedro regular, nomeando seus vértices por \mathsf{A, B, C, V.} Seja \mathsf{l \ = \ 1} o lado do tetraedro.