Olimpíadas(OCM) Equações e funções logarítmicas Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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(OCM) Equações e funções logarítmicas

Mensagem não lida por Deleted User 23699 »

Seja f uma função real de variável real satisfazendo a equação
[tex3]e^{f(x)}+e^{-f(x)}-2x=0[/tex3]
a) Determine o domínio de f
b) Se f(x) é maior ou igual a zero para todo x em seu domínio, determine a única função f satisfazendo a equação dada
Resposta

a) [tex3]x\geq 1[/tex3]
b) [tex3]f(x)=ln(x+\sqrt{x^2-1})[/tex3]




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undefinied3
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Abr 2021 17 01:10

Re: (OCM) Equações e funções logarítmicas

Mensagem não lida por undefinied3 »

a) [tex3]exp(f(x))+\frac{1}{exp(f(x))}=2x \rightarrow exp(2f(x))-2x.exp(f(x))+1=0[/tex3]
[tex3]t^2-2xt+1=0 \rightarrow t=x \pm \sqrt{x^2-1} \rightarrow exp(f(x)) = x \pm \sqrt{x^2-1}[/tex3]

Lembrando que exponenciais são positivas, então [tex3]x \pm \sqrt{x^2-1}>0 \rightarrow x\geq 1[/tex3]

b) Tirando o log da expressão obtida, [tex3]f(x) = ln(x \pm \sqrt{x^2-1}) \geq 0[/tex3] para todo [tex3]x \geq 1[/tex3]
[tex3]ln(x \pm \sqrt{x^2-1}) \geq 0 \rightarrow x \pm \sqrt{x^2-1} \geq 1[/tex3]
Se você analisar [tex3]x-\sqrt{x^2-1} \geq 1[/tex3] , vai obter solução única [tex3]x=1[/tex3] , ou seja, não vale para todo domínio de f.
Se você analisar [tex3]x+\sqrt{x^2-1} \geq 1[/tex3] , vai obter exatamente [tex3]x \geq 1[/tex3] , que cobre todo domínio de f.

Então [tex3]f(x)=ln(x+\sqrt{x^2-1})[/tex3]



Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

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