Olimpíadas(EUA) Funções: Composta e Inversa Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Abr 2021 14 11:29

(EUA) Funções: Composta e Inversa

Mensagem não lida por Deleted User 23699 »

Seja [tex3]f_0(x)=x+|x-100|-|x+100|[/tex3] e, para [tex3]n\geq 1[/tex3] , seja [tex3]f_n(x)=|f_{n-1}(x)|-1[/tex3] . Para quantos valores de x ocorre [tex3]f_{100}(x)=0[/tex3] ?

a) 299
b) 300
c) 301
d) 302
e) 303
Resposta

C




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Ittalo25
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Re: (EUA) Funções: Composta e Inversa

Mensagem não lida por Ittalo25 »

[tex3]f_n(x) [/tex3] vai sempre baixando 1 unidade. Mas quando chegar em 0, vai ficar sempre repetindo 0 e -1

Exemplo:
[tex3]f_6(x)=0[/tex3]
[tex3]f_{5}(x)=-1[/tex3]
[tex3]f_{4}(x)=0[/tex3]
[tex3]f_{3}(x)=-1[/tex3]
[tex3]f_{2}(x)=0[/tex3]
[tex3]f_{1}(x)=1[/tex3]
[tex3]f_{0}(x)=2[/tex3]
Se a sequência começar com par: [tex3]f_{0}(x)=2[/tex3]
Para números pares [tex3]f_2, f_4,f_6,.... =0 [/tex3]

Mas se acontecer:
[tex3]f_6(x)=-1[/tex3]
[tex3]f_{5}(x)=0[/tex3]
[tex3]f_{4}(x)=-1[/tex3]
[tex3]f_{3}(x)=0[/tex3]
[tex3]f_{2}(x)=1[/tex3]
[tex3]f_{1}(x)=2[/tex3]
[tex3]f_{0}(x)=3[/tex3]
Se a sequência começar com ímpar: [tex3]f_{0}(x)=3[/tex3]
Para números pares [tex3]f_4,f_6,.... =-1 [/tex3]

Como queremos [tex3]f_{100}=0 [/tex3] , então a sequência deve começar com um número par.
Além disso, [tex3]-100\leq f_0(x) \leq 100[/tex3] , obviamente porque a sequência vai diminuindo de 1 unidade a cada passo.
Se [tex3]f_0(x) = 105 [/tex3] , [tex3]f_{100}(x) = 5 [/tex3] , por exemplo.
Então é isso, [tex3]f_0(x) [/tex3] par e [tex3]-100\leq f_0(x) \leq 100[/tex3]

Agora o x:
Se [tex3]x \geq 100 [/tex3] : [tex3]f_0(x) = x+x-100-(x+100) = x-200 [/tex3]
Então: [tex3]100 \leq x \leq 300 [/tex3]
Se [tex3]-100 \leq x < 100 [/tex3] : [tex3]f_0(x) = -x[/tex3]
Então: [tex3]-100 \leq x < 100 [/tex3]
Se [tex3]x < -100 [/tex3] : [tex3]f_0(x) = x+200 [/tex3]
Então: [tex3]-300 \leq x < -100 [/tex3]

Então o domínio total de x é: [tex3]-300 \leq x \leq 300[/tex3]
São 601 números, mas a outra condição é que sejam pares, então são 301.

Última edição: Ittalo25 (Qui 15 Abr, 2021 23:14). Total de 1 vez.


Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

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