Olimpíadas ⇒ Arbelos

[Babi123]

A seguir temos três semicírculos sendo [tex3]AB,AD \ e \ DB[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AB,AD \ e \ DB[/tex3]

os seus diâmetros.
[tex3]M[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]M[/tex3]

e [tex3]N[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]N[/tex3]

são pontos de tangência, [tex3]\{F,G\}=MN\cap\odot(O, OB)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\{F,G\}=MN\cap\odot(O, OB)[/tex3]

, [tex3]C\in\odot(O,OB)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C\in\odot(O,OB)[/tex3]

e [tex3]CD\perp AB[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]CD\perp AB[/tex3]

. Prove que [tex3]\Delta{GFC}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta{GFC}[/tex3]

é isósceles ([tex3]CG=CF[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]CG=CF[/tex3]

).

Arbelos.png (24.99 KiB) Exibido 656 vezes

Resposta

---

Me parece que [tex3]\Delta CDF[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta CDF[/tex3]

também é isósceles. Acredito que esses resultados já devem ser bem conhecidos, mas só vi eles hoje fazendo testes no Geogebra

[Deleted User 25040]

talvez ver se A, M, C são colineares e B, N e C também e tentar usar o lema da estrela da morte.

[NigrumCibum]

1618051865703.jpg (28.33 KiB) Exibido 622 vezes

1. Provar que A, M, C e B, N, C são colineares é o mesmo que provar que DMCN é um retângulo. Na verdade, isso é bastante fácil, basta olhar para as tangências e lembrar do critério de tangência;
2. Como null disse, o lema da estrela da morte finaliza o nosso problema.