OlimpíadasSequencias Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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iammaribrg
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Mar 2021 15 17:13

Sequencias

Mensagem não lida por iammaribrg »

Prove que, numa PG de razão 4, cujo primeiro termo é igual a 1, todos os termos são quadrados perfeitos.



O fogo arderá continuamente sobre o altar; não se apagará.
Levítico 6:13

Deleted User 25040
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Mar 2021 15 17:19

Re: Sequencias

Mensagem não lida por Deleted User 25040 »

usa indução
preciso digitar pelo menos 20 caracteres




Deleted User 25040
6 - Doutor
Última visita: 31-12-69
Mar 2021 15 21:30

Re: Sequencias

Mensagem não lida por Deleted User 25040 »

ideia para o caso geral em alguns valores específicos:
[tex3]a_1=1=1^2[/tex3]
[tex3]a_2=1^2\cdot4=1^2\cdot2^2=(1\cdot2)^2[/tex3]
[tex3]a_3=2^2\cdot(1\cdot2)^2=(1\cdot2\cdot2)^2=4^2[/tex3]

base:
por definição [tex3]a_1=1[/tex3] mas 1 é quadrado perfeito.

passo indutivo:
suponha que para algum k inteiro positivo [tex3]a_k[/tex3] é quadrado perfeito, isto é [tex3]a_k=n^2[/tex3] .
para k + 1 temos [tex3]a_{k+1}=n^2\cdot4=(2n)^2[/tex3] que é quadrado perfeito.




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