Olimpíadas

Mensagem não lida por **careca** » 13 Mar 2021, 15:12

Seja o pentágono regular abaixo, calcule o ângulo desconhecido:

: olímpica.jpg (12.64 KiB) Exibido 2681 vezes

Não tenho gabarito !

13 Mar 2021, 15:35

Faltam informações no problema como, por exemplo, se a figura inscrita no pentágono é um retângulo e se os segmentos do suposto retângulo são paralelos... Considerando essas duas coisas, podemos afirmar que o ângulo é de [tex3]18^{\circ}[/tex3] .

Vou mostrar:

: Screenshot_37.png (65.93 KiB) Exibido 2675 vezes

Podemos achar os ângulos internos desse pentágono a partir da fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono:
[tex3]a_i=\frac{(5-2).180}{5}=108^{\circ}[/tex3]

Perceba, no vértice direito, que o ângulo que encontramos como sendo [tex3]90^{\circ}[/tex3] mais ou ângulo que queremos descobrir (vamos chama-lo de [tex3]\alpha )[/tex3] formam o ângulo interno desse pentágono, portanto:
[tex3]90^{\circ}+\alpha =108^{\circ}[/tex3]
[tex3]{\color{red}\boxed{\alpha =18^{\circ}}}[/tex3]

Mensagem não lida por **careca** » 13 Mar 2021, 19:40

É meu amigo, essa questão realmente falta informações. Pensei nesse 18 de forma precipitada, mas achei errado por ser "muito fácil" para um exercício olímpico. Fiquei traçando um monte de ceviana tentando achar algo kkk. Muito obrigado!

13 Mar 2021, 20:25

Posso estar enganado, mas não falta informação não.

O triângulo retângulo tá nos falando várias coisas:

- Tem que formar um ângulo de 90 graus tocando ali naquele lado esquerdo.
- Além do ângulo de 90 graus, o ângulo de cima precisa ser 36
- Além disso, o triângulo retângulo precisa fechar em cima do lado debaixo.

Eu acredito que isso defina bem um único triângulo retângulo, porque note que se você tentar mover o ponto sobre o lado esquerdo pra cima ou pra baixo, ainda tentando manter o ângulo de 36 ali em cima, o triângulo retângulo vai deixar de fechar em cima do lado debaixo do pentágono.

Estando o triângulo retângulo bem definido, então o exercício só traça aquela reta do lado direito até a base do pentágono e pede o ângulo ? que está bem definido também. Não me parece faltar informação nenhuma.

Tentei mexer no problema, mas eu não sou muito bom em geometria plana. O que eu tentei fazer foi nomear o ângulo à esquerda de 36 de alfa, e o ângulo à direita de beta, e manter em mente que alfa+beta=72. E aí aquele triângulo pequeno de ângulos alfa 108 72-alfa=beta, você pega ele e encaixa o lado do pentágono no lado superior direito do pentágono (o lado com ângulos beta e 108-?), e a partir daí ir tentando descobrir algo. Não deu muito certo, só descobri que o ponto amarelo é o centro do circuncirculo do triângulo retângulo e que aqueles dois segmentos com setinhas azuis são paralelos.

13 Mar 2021, 21:06

Eu tive uma ideia mas não consegui desenvolver tanto, mas e se tentar construir duas retas do vértice superior do pentágono até os dois vértices da base, formando assim dois triângulos isósceles (pelo fato de que os lados vão ser lados do pentágono regular, que são iguais) e usar o fato dos ângulos da base serem iguais? Acho que é uma ideia válida, tenta usar isso nesse seu desenho, quem sabe desenrole algo, undefinied3 .

Eu posso estar enganado quanto a faltar informações, mas a primeiro momento, realmente me pareceu. Caso eu esteja errado, desculpe o equívoco.

Mensagem não lida por **petras** » 14 Mar 2021, 09:39

NathanMoreira,

A resposta é 18o mas não necessariamente o quadrilátero é um retângulo.
Fazendo graficamente, confirma que o quadrilátero não é um retângulo.

14 Mar 2021, 13:23

: 1615738711597.jpg (25.45 KiB) Exibido 2555 vezes

AC é altura, então dá pra ver que AMCB é cíclico, então [tex3]\angle MCA=\angle MBA =54°[/tex3] e [tex3]\angle MCP =36°[/tex3] então fica claro que M é o ponto médio de PQ. Consequentemente [tex3]\angle MDA=54°=\angle MBA[/tex3] , então A, M, C, B e D são concíclicos, daí [tex3]\angle MDB= \angle MAB=36°[/tex3] , o que implica que [tex3]?=108°-54°-36°=18°.[/tex3]

15 Mar 2021, 14:19

O ittalo me alertou que falta provar que B≠C, então vou fazer isso, só pra completar o problema.

: 1615828719262.jpg (25.69 KiB) Exibido 2451 vezes

Suponha que C=B, ou seja AB é perpendicular ao lado PE. Pelo cáculo de alguns ângulos, a gente chega à conclusão de que [tex3]\triangle AMB≡ \triangle ADB [/tex3] , então BM=AD, ou seja [tex3]\frac{\sqrt5+1}{4}=1[/tex3] , o que é um absurdo, portanto [tex3]B≠C.[/tex3] ∎

15 Mar 2021, 14:49

Há uma solução interessante enviada pelo professor Ignacio Larrosa Cañestro no Twitter:

: 20210315_143310.jpg (30.9 KiB) Exibido 2446 vezes

Seja AH a altura traçada desde A até DC e seja [tex3]I=AH∩DG.[/tex3] Como [tex3]\angle IAF=\angle FGI=54° [/tex3] , então o quadrilátero AFIG é cíclico, portanto: [tex3]\angle IFG=\angle IGF=54° [/tex3] , [tex3]\angle IFD=\angle IDF=36° [/tex3] , então I é circuncentro do triângulo DFG. Sendo [tex3]ID=IG=IF=a[/tex3] e DC=1, então: [tex3]\frac{DI}{DH}=2a[/tex3] e [tex3]\frac{DG}{DC}=2a[/tex3] , o que inplica que os triângulos DIH e DGC são semelhantes, deste modo: [tex3]\angle DCG=\angle DHI=90°⇒?=108°-90°=18°.[/tex3]

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