(EUA) Sabendo que o valor da soma
{1}{2! 17!} + {1}{3! 16!} +...{1}{9! 10!}
é representada da seguinte forma
2^{a} - b/c!
onde c! é o fatorial de c. Calcule o valor de a + b + c.
Olimpíadas ⇒ Analise Combinatória- Binomiais Tópico resolvido
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Analise Combinatória- Binomiais
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Re: Analise Combinatória- Binomiais
Designando por S a soma pedida, temos: [tex3]S=\frac{1}{2!17!}+\frac{1}{3!16!}+\dots+\frac{1}{9!10!}[/tex3]
Multiplicando a soma por 2 e por 19!, temos:
[tex3]2×19!S=\frac{19!}{2!(19-2)!}+\frac{19!}{3!(19-3)!}+\dots+\frac{19!}{9!(19-10)!}+\frac{19!}{10!(19-10)!}+\dots+\frac{19!}{17!(19-17)!}⇒2×19!S=\binom{19}{2}+\binom{19}{3}+\dots+\binom{19}{9}+\binom{19}{10}+\dots+\binom{19}{17}.[/tex3]
Somando [tex3]\binom{19}{0}+\binom{19}{1}+\binom{19}{18}+\binom{19}{19}[/tex3] a ambos os lados, temos: [tex3]\binom{19}{0}+\binom{19}{1}+\binom{19}{18}+\binom{19}{19}+2×19!S=\binom{19}{0}+\binom{19}{1}+\binom{19}{2}+\dots+\binom{19}{18}+\binom{19}{19}.[/tex3]
Pelo teorema das linhas: [tex3]40+2×19!S=2^{19}⇒S=\frac{2^{18}-20}{19!}[/tex3] e segue que [tex3]a+b+c=57.[/tex3]
Por favor, da próxima vez use o latex.
Multiplicando a soma por 2 e por 19!, temos:
[tex3]2×19!S=\frac{19!}{2!(19-2)!}+\frac{19!}{3!(19-3)!}+\dots+\frac{19!}{9!(19-10)!}+\frac{19!}{10!(19-10)!}+\dots+\frac{19!}{17!(19-17)!}⇒2×19!S=\binom{19}{2}+\binom{19}{3}+\dots+\binom{19}{9}+\binom{19}{10}+\dots+\binom{19}{17}.[/tex3]
Somando [tex3]\binom{19}{0}+\binom{19}{1}+\binom{19}{18}+\binom{19}{19}[/tex3] a ambos os lados, temos: [tex3]\binom{19}{0}+\binom{19}{1}+\binom{19}{18}+\binom{19}{19}+2×19!S=\binom{19}{0}+\binom{19}{1}+\binom{19}{2}+\dots+\binom{19}{18}+\binom{19}{19}.[/tex3]
Pelo teorema das linhas: [tex3]40+2×19!S=2^{19}⇒S=\frac{2^{18}-20}{19!}[/tex3] e segue que [tex3]a+b+c=57.[/tex3]
Por favor, da próxima vez use o latex.
Última edição: NigrumCibum (Qui 04 Mar, 2021 09:01). Total de 2 vezes.
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