Olimpíadas

Mensagem não lidapor **iammaribrg** » 25 Fev 2021, 10:43 · Mensagem não lida por **iammaribrg** » 25 Fev 2021, 10:43

Suponha que [tex3]a_1=2[/tex3] e [tex3]a_{k+1}=3a_k+1[/tex3] para todo [tex3]k\geq1[/tex3] .

Ache uma fórmula geral para [tex3]a_1+a_2+...+a_n[/tex3] .

Resposta

[tex3]\frac{5(3^n-1)}{4}-\frac{n}{2}[/tex3]

Mensagem não lidapor **csmarcelo** » 25 Fev 2021, 13:22 · Mensagem não lida por **csmarcelo** » 25 Fev 2021, 13:22

[tex3]a_1=2[/tex3]
[tex3]a_{k+1}=3a_k+1[/tex3]

[tex3]a_2=3a_1+1[/tex3]
[tex3]a_3=3(3a_1+1)+1=3^2a_1+3+1[/tex3]
[tex3]a_4=3(3^2a_1+3^1+1)+1=3^3a_1+3^2+3+1[/tex3]
[tex3]a_5=3(3^3a_1+3^2+3^1+3^0)+1=3^4a_1+3^3+3^2+3+1[/tex3]

Mas [tex3]1=3^0[/tex3] , logo,

[tex3]a_2=3^1a_1+3^0[/tex3]
[tex3]a_3=3(3a_1+3^0)+1=3^2a_1+3^1+3^0[/tex3]
[tex3]a_4=3(3^2a_1+3^1+3^0)+1=3^3a_1+3^2+3^1+3^0[/tex3]
[tex3]a_5=3(3^3a_1+3^2+3^1+3^0)+1={\color{blue}3^4a_1}+{\color{red}3^3+3^2+3^1+3^0}[/tex3]

Da observação dessa sequência, percebemos que

[tex3]a_1=3^0a_1[/tex3]

Determinando, assim, o padrão,

[tex3]a_n={\color{blue}3^{n-1}a_1}+{\color{red}\sum_{i=0}^{n-2}3^i}=3^{n-1}a_1+\frac{3^{n-2-0+1}-1}{2}=\frac{5\cdot3^{n-1}-1}{2}[/tex3]

Daí,

[tex3]a_1+a_2+...+a_n=\sum_{i=1}^n\frac{5\cdot3^{n-1}-1}{2}=\sum_{i=1}^n\(\frac{5\cdot3^{n-1}}{2}-\frac{1}{2}\)=\frac{5}{2}\cdot\sum_{i=1}^n3^{n-1}-\sum_{i=1}^n\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\cdot\frac{3^{n-1+1}-1}{3-1}-\frac{n}{2}=\frac{5(3^{n-1}-1)}{4}-\frac{n}{2}[/tex3]

Olimpíadas ⇒ Sequencias Tópico resolvido

Sequencias

Re: Sequencias

Olimpíadas ⇒ Sequencias Tópico resolvido

Sequencias

Re: Sequencias

Entrar | Registrar