Olimpíadas

Renan123 · Mensagem não lida por **Renan123** » 17 Fev 2021, 13:32

Vários pontos foram marcados numa reta e se consideram todos os segmentos que têm dois desses pontos como extremidades. Um dos pontos marcados pertence ao interior de 80 desses segmentos e outro ponto pertence ao interior de 90 desses segmentos. Quantos pontos foram marcados na reta?

(A) 20 (B) 22 (C) 36 (D) 85 (E) 2015
(Eu preciso de uma resposta mais detalhada do que a solução divulgada no site da Canguru)

Resposta

B

Existe um ponto P que está no interior de 80 segmentos. Ou seja, sabemos que existe uma quantidade x de pontos do lado esquerdo de P e y de pontos do lado direito de P tal que, formando-se todos os segmentos que comece do lado esquerdo do P e termine do lado direito de P, teremos 80 segmentos.

Ora, se tenho, por exemplo, 2 pontos do lado esquerdo e 3 do lado direito, podemos formar 2*3=6 segmentos

Então [tex3]x*y=80[/tex3]

O total de pontos é [tex3]T=x+y+1[/tex3] , pois são os pontos à esquerda de P, os pontos à direita e o ponto P.

Aí o enunciado fala que tem outro ponto que vai ter 90 segmentos passando por ele. Suponha que esse ponto esteja a z pontos de distância de P, sem perda de generalidade, para a direita por exemplo. Então podemos equacionar assim:

[tex3](x+z)(y-z)=90[/tex3]

Porque, se P tinha, por exemplo, antes, 3 pontos à direita e 4 à esquerda, e aí andamos 2 pontos pra esquerda e chegamos no ponto P', então P' terá 3+2 pontos à esquerda e 4-2 pontos à direita.

Agora, testamos os casos, lembrando que x y z são números inteiros. Usando a segunda equação, por exemplo, tomando 90=2*45

[tex3]x+z=45[/tex3]
[tex3]y-z=2[/tex3]
E aí temos [tex3]x+y=47[/tex3]

Note que assim obtemos a soma e o produto de x e y, ou seja, esses números serão raízes da equação quadrática:
[tex3]t^2-47t+80=0[/tex3]

Só que isso não tem raízes inteiras. Então nosso chute de quebrar 90 em 45*2 não deu certo. Ora, seja já qual for a combinação correta, suponha que [tex3]x+y=k[/tex3] , então:

[tex3]t^2-kt+80=0[/tex3]

Daí, [tex3]\Delta=k^2-320[/tex3] , e isso deve ser um quadrado perfeito, [tex3]k^2-320=v^2 \rightarrow k^2=v^2+320[/tex3] .

Aqui eu imagino que é fácil perceber que uma solução que salta aos olhos é v=2, k=18, pois [tex3]18^2=324=4+320[/tex3] . Resta verificar se dá pra obter k=18 a partir de [tex3](x+z)(y-z)=90[/tex3] . Tente e verifique que não dá. Então buscamos outra solução. Ainda é fácil fazer isso na mão, basta pensar em [tex3]21*21=441=320+11^2[/tex3] , então resta verificar se dá pra termos [tex3]k=21[/tex3] . Esse valor sim é possível, basta quebrar [tex3]90=15*6[/tex3] , pois aí [tex3]x+y=15+6=21=k[/tex3]

Daí, obtemos [tex3]T=21+1=22[/tex3] pontos

Olimpíadas ⇒ Canguru da matemática - 2015 (questão 30) Tópico resolvido

Canguru da matemática - 2015 (questão 30)

Re: Canguru da matemática - 2015 (questão 30)

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