OlimpíadasDesigualdade triangular

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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A13235378
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Fev 2021 05 09:44

Desigualdade triangular

Mensagem não lida por A13235378 »

ABC é um triângulo de incentro I no qual AB>AC. Mostre que IB > IC.

Última edição: A13235378 (Sex 05 Fev, 2021 09:44). Total de 1 vez.


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quevedo
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Re: Desigualdade triangular

Mensagem não lida por quevedo »

A13235378 escreveu:
Sex 05 Fev, 2021 09:44
ABC é um triângulo de incentro I no qual AB>AC. Mostre que IB > IC.
Não é muito dificil ver que o maior ângulo de um triângulo sempre está voltado para o maior lado deste. Esse fato, apenas, é necessário pra mostrar a questão. Veja:

Seja [tex3]\alpha [/tex3] o ângulo oposto a AB e [tex3]\theta [/tex3] o ângulo oposto a AC. Então temos que [tex3]\alpha [/tex3] > [tex3]\theta [/tex3] .

Sendo o Incentro o ponto de encontro das bissetrizes, imagine o [tex3]\Delta [/tex3] IBC. ELe terá como ângulo oposto ao lado IB [tex3]\alpha [/tex3] /2 e como lado oposto a IC o ângulo [tex3]\theta [/tex3] /2.

Como [tex3]\alpha [/tex3] /2 > [tex3]\theta [/tex3] /2 ,temos que IB > IC.




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