OlimpíadasInequações Funcionais

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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goncalves3718
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Fev 2021 02 14:10

Inequações Funcionais

Mensagem não lida por goncalves3718 »

Seja [tex3]f : \mathbb{N} → \mathbb{N}[/tex3] uma função tal que [tex3]f(n + 1) > f(n)[/tex3] e [tex3]f(f(n)) = 3n[/tex3] , para todo [tex3]n[/tex3] natural.

Determine [tex3]f(2001)[/tex3] .




Deleted User 25040
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Mai 2021 09 11:05

Re: Inequações Funcionais

Mensagem não lida por Deleted User 25040 »

........................................up.......................................
[tex3]\boxed{3f(n) = f(3n)}[/tex3]
isso vem do fato [tex3]f(f(n)) = 3n \implies f(f(f(n))=3f(n)=f(3n)[/tex3]
usando isso podemos descobrir o valor de f(0).
[tex3]f(0)=f(3\cdot0)=3\cdot f(0)\implies \boxed{f(0) = 0}[/tex3] .
com um pouco mais de trabalho podemos descobrir que f(1) = 2.
suponha por absurdo que f(1) = 1 então [tex3]f(f(1))=f(1)[/tex3] mas [tex3]f(f(1))= 3\cdot1[/tex3] , absurdo.
suponha agora que f(1) = 3. [tex3]f(f(1)) = f(3) = 3\cdot1=3[/tex3] mas isso é um absurdo devido desigualdade que diz que deveríamos
ter [tex3]f(1) < f(2) < f(3)[/tex3] , substituindo [tex3]3< f(2) < 3[/tex3] , absurdo.
e também não podemos ter [tex3]f(1) = x > 3[/tex3] porque [tex3]f(f(1))=f(x)=3[/tex3] mas a desigualdade diz que [tex3]f(1) < f(x)[/tex3] já que 1 < x.
então [tex3]\boxed{ f(1) = 2}[/tex3] .
eu consegui calcular aqui alguns outros valores de f(n), eu descobri f(6) e f(3) como sendo 9 e 6 respectivamente e usei isso para descobrir f(4) e f(5) usando que [tex3]f(3)< f(4) < f(5) < f(6)[/tex3] ai eu tentei usar isso para descobrir f(667) pois
[tex3]f(2001) = 3f(667)[/tex3] mas eu n consegui descobrir o valor de f(n) dos múltiplos de 3 mais próximos de 667.
[tex3]3^5\cdot2=f(3^5)=f(243)< f(244) < ...< f(667) < f(668) < f(669) < ...< f(729)= f(3^6)=3^6\cdot2[/tex3]
mas ainda não da para descobrir o valor de f(667). essa foi a única forma que eu consegui pensar em como descobrir esse valor mas só usar isso não vai ser suficiente porque f(1) = 2.
talvez achar f(666) e f(668) e torcer para que f(668) = f(666) + 2.




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