Olimpíadas ⇒ Concorrência entre retas Tópico resolvido

[goncalves3718]

Seja I o incentro do triângulo ABC. Sejam A1, B1 e C1 os pontos de tangência do incírculo do triângulo ABC com os lados BC, AC e AB, respectivamente. Sejam B e K os pontos de interseçâo da reta BC com a circunferência circunscrita do triângulo BC1B1. Sejam C e L os pontos de interseção da reta BC com a circunferência circunscrita do triângulo CB1C1.
Prove que as retas KC1, LB1 e IA1 são concorrentes num mesmo ponto.

[Ittalo25]

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Na verdade são as retas KB1,LC1 e A1I que concorrem.

Suponha que LC1,IA1 e B1K1 concorrem no ponto H.
- KB1C1B é cíclico, então <CKB1=<B1C1A
- CB1C1L é cíclico, então <LCB1=<HC1B1, ou seja: <KB1C = <HC1A
- AB1IC1 é cíclico, já que <AB1I=<AC1I=90°, então: <AC1B1=<AIB1
- CB1IA1 é cíclico, já que <IB1C=<IA1C=90°, então <B1IH=<A1CB1, ou seja <HIA=<HC1A.
- Mas então AHC1I é cíclico.
- Disso sai que <AB1H=<AC1H=<CB1K1
- Sendo assim: <CB1K1 = <CB1K
- K1 = K e está provado