Olimpíadas ⇒ Geometria Plana Tópico resolvido

[goncalves3718]

Considere um triângulo ABC sendo ∠A o menor dos três ângulos internos e seja Γ a circunferência que passa pelos vértices do triângulo ABC. Seja D um ponto sobre o arco BC de que não contém A. Seja E um ponto sobre o arco AC de Γ que não contém B, tal que CE = BD e seja F um ponto sobre o arco AB de Γ que não contém C tal que BF = CD. O segmento EF corta os lados AB e AC nos pontos P e Q, respectivamente.
Sabe-se também que DF corta o lado AB em X e DE corta o lado AC em Y . Seja R o encontro das retas PY e QX.
Prove que o quadrilátero APRQ é inscritível.

[Ittalo25]

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- APYE é cíclico já que <BAC=<DEF
- Então <EDC=<EAC=EPY.
- De modo análogo AFXQ é cíclico e <PQR=<FDB
- Então:
<BAC+<BDC=180°
<BAC+<CDE+<BDF+EDF=180°
<BAC+QPR+<PQR+180°-2<BAC=180°
<QPR+<PQR= <BAC
180°-<QRP= <BAC
180° = <BAC+<QRP