Olimpíadas ⇒ Teoria dos Números e Álgebra Tópico resolvido

[goncalves3718]

Encontre todos os inteiros positivos [tex3]a,b,c,d[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a,b,c,d[/tex3]

tais que:

[tex3]2^a = 3^b \cdot 5^c + 7^d[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2^a = 3^b \cdot 5^c + 7^d[/tex3]

[Ittalo25]

Tô no celular aqui, mas algumas dicas:

- Olhando módulo 3: 1 = 2^a. Ou seja, a é par
- Olhando módulo 5: 2^a = 2^d. Obviamente a>d, então 2^{a-d}=1. Repara que 2^4=1. 4 é a ordem de 2 módulo 5. Ou seja, 4 divide a-d. Mas o a é par, então d também é par.

Aí você fatora a diferença de quadrados: (2+7)(2-7)....

E além disso, repare que esses 2 fatores são primos entre si. Aí basta finalizar

[goncalves3718]

Sendo [tex3]a =2k[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a =2k[/tex3]

e [tex3]d = 2q[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d = 2q[/tex3]

:

[tex3]2^{2k} - 7^{2q} = 3^b \cdot 5^c \implies (2^k-7^q)(2^k+7^q) = 3^b \cdot 5^c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2^{2k} - 7^{2q} = 3^b \cdot 5^c \implies (2^k-7^q)(2^k+7^q) = 3^b \cdot 5^c[/tex3]

Entendi! Mas não estou conseguindo finalizar

[Ittalo25]

Só para deixar claro o que eu disse:
Pelo lema de Euclides:
[tex3]mdc( 2^k-7^q,2^k+7^q) = mdc ( 2^k-7^q+2^k+7^q,2^k+7^q) = mdc(2^{k+1},2^k+7^q) = 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]mdc( 2^k-7^q,2^k+7^q) = mdc ( 2^k-7^q+2^k+7^q,2^k+7^q) = mdc(2^{k+1},2^k+7^q) = 1[/tex3]

3 e 5 são primos entre si também, então para [tex3](2^k-7^q)(2^k+7^q) = 3^b \cdot 5^c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](2^k-7^q)(2^k+7^q) = 3^b \cdot 5^c[/tex3]

[Ittalo25]

Então cara, são 3 casos para resolver e na verdade não são simples:

[tex3]\begin{cases}
2^k+7^q=5^c \\
2^k-7^q=3^b
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
2^k+7^q=5^c \\
2^k-7^q=3^b
\end{cases}[/tex3]

Aqui o wolfram diz que não tem solução para q>0. Então o negócio é encontrar alguma contradição com q>0

[tex3]\begin{cases}
2^k+7^q=3^b \\
2^k-7^q=5^c
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
2^k+7^q=3^b \\
2^k-7^q=5^c
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
2^k+7^q=5^c\cdot 3^b \\
2^k-7^q=1
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
2^k+7^q=5^c\cdot 3^b \\
2^k-7^q=1
\end{cases}[/tex3]

Tentei bastante mas não consegui fazer nenhum desses sistemas