Olimpíadas ⇒ Inequações Funcionais

[goncalves3718]

Encontre todas as funções [tex3]f[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f[/tex3]

definida nos reais positivos e assumindo valores reais tais que

[tex3]f(x)+f(y) \leq \dfrac{f(x+y)}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)+f(y) \leq \dfrac{f(x+y)}{2}[/tex3]

e [tex3]\dfrac{f(x)}{x} + \dfrac{f(y)}{y} \geq \dfrac{f(x+y)}{x+y}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\dfrac{f(x)}{x} + \dfrac{f(y)}{y} \geq \dfrac{f(x+y)}{x+y}[/tex3]

para todos reais positivos [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

e [tex3]y[/tex3]

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[tex3]y[/tex3]

.

[goncalves3718]

Se [tex3]x=y[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=y[/tex3]

:

[tex3]f(x)+f(x) \leq \dfrac{f(x+x)}{2} \implies 2f(x) \leq \dfrac{f(2x)}{2} \implies 4f(x) \leq f(2x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)+f(x) \leq \dfrac{f(x+x)}{2} \implies 2f(x) \leq \dfrac{f(2x)}{2} \implies 4f(x) \leq f(2x)[/tex3]

[tex3]\dfrac{f(x)}{x} + \frac{f(x)}{x} \geq \dfrac{f(x+x)}{x+x} \implies 2 \cdot \dfrac{f(x)}{x} \geq \dfrac{f(2x)}{2x} \implies 2f(x) \cdot 2x \geq f(2x)
\cdot x \implies 4f(x) \geq f(2x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\dfrac{f(x)}{x} + \frac{f(x)}{x} \geq \dfrac{f(x+x)}{x+x} \implies 2 \cdot \dfrac{f(x)}{x} \geq \dfrac{f(2x)}{2x} \implies 2f(x) \cdot 2x \geq f(2x)
\cdot x \implies 4f(x) \geq f(2x)[/tex3]

A única possibilidade é [tex3]\boxed{\boxed{4f(x) = f(2x)}} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\boxed{4f(x) = f(2x)}} [/tex3]

O que acha undefinied3?

[goncalves3718]

Isso deve ser importante!