Resposta
Como [tex3]7^k[/tex3] e [tex3]3^n[/tex3] sempre são números ímpares, a diferença [tex3]7^k-3^n[/tex3] é par. Logo, [tex3]k^4+n^2[/tex3] tem que ser par também e isso só é válido quando [tex3]k[/tex3] e [tex3]n[/tex3] têm a mesma paridade.
[tex3]7 \equiv -1 \,(\mod 4) \implies 7^k \equiv (-1)^k \, (\mod 4)[/tex3]
[tex3]3 \equiv -1 \,(\mod 4) \implies 3^n \equiv (-1)^n \, (\mod 4)[/tex3]
[tex3]7^k -3^n \equiv (-1)^k - (-1)^n[/tex3]
Quando [tex3]k[/tex3] e [tex3]n[/tex3] são ímpares:
[tex3](-1)^k - (-1)^n = -1 - (-1) = 0[/tex3]
Quando [tex3]k[/tex3] e [tex3]n[/tex3] são pares:
[tex3](-1)^k - (-1)^n = 1 - 1 =0[/tex3]
Ou seja:
[tex3]7^k -3^n \equiv 0 \, (\mod 4)[/tex3]
Se [tex3]7^k - 3^n[/tex3] é múltiplo de [tex3]4[/tex3] é necessário que [tex3]k^4+n^2[/tex3] seja múltiplo de [tex3]4[/tex3] para que [tex3]7^k-3^n|k^4+n^2[/tex3] .
Se [tex3]k[/tex3] e [tex3]n[/tex3] são ímpares, temos o seguinte:
Lema: o quadrado de um número ímpar sempre deixa resto [tex3]1[/tex3] na divisão por [tex3]4[/tex3] .
Resposta
Demonstração: [tex3](2z+1)^2 = 4z^2+4z+1 = 4(z^2+z) + 1 \equiv 1 \, (\mod 4)[/tex3]
[tex3]n^2 \equiv 1 \, (\mod 4)[/tex3]
[tex3]k^4+n^2 \equiv 1+1 \equiv 2 \, (\mod 4)[/tex3] (ABSURDO)
Logo [tex3]k[/tex3] e [tex3]n[/tex3] são ambos pares.
Se [tex3]k = 2a[/tex3] e [tex3]n=2b[/tex3]
[tex3]k^4+n^2 = 16a^4 + 4b^2[/tex3]
[tex3]7^k-3^n = 7^{2a} - 7^{2b} = (7^a)^2 - (7^b)^2 = ( 7^a + 7^b)(7^a - 7^b)[/tex3] e por consequência [tex3]7^a + 3^b| 16a^4 +4b^2 \implies 7^a + 3^b \leq 16a^4+4b^2[/tex3]
Como prosseguir?
Meu amigo disse que [tex3]7^a+3^b > 16a^4+4b^2[/tex3] para [tex3]a \geq 5[/tex3] e [tex3]b\geq 4[/tex3] e então [tex3]a \leq 4[/tex3] e [tex3]b\leq 3[/tex3] .
Como ele chegou nisso? Não sei! Conseguem dar uma ajudinha?
