Olimpíadas

06 Jan 2021, 20:26

Seja [tex3]ABC[/tex3] um triângulo equilátero, e [tex3]D,E[/tex3] e [tex3]F[/tex3] pontos sobre os lados [tex3]BC,CA[/tex3] e [tex3]AB[/tex3] , respectivamente.
Se [tex3]\angle BAD + \angle CBE + \angle ACF \geq 120°[/tex3] , prove que todo [tex3]P[/tex3] no interior do triângulo [tex3]ABC[/tex3] também estará no interior ou na borda de pelo menos um triângulo [tex3]BAD,CBE[/tex3] e [tex3]ACF[/tex3] .

07 Jan 2021, 11:18

Acho que devemos provar que [tex3]AD,BE[/tex3] e [tex3]FC[/tex3] concorrem em um ponto [tex3]Q[/tex3] .
Dessa forma todo ponto [tex3]P[/tex3] no interior do triângulo ABC cumprirá as restrições do enunciado.

Ittalo25, undefinied3, null, o que acham?

Mensagem não lidapor **Ittalo25** » 07 Jan 2021, 19:31 · Mensagem não lida por **Ittalo25** » 07 Jan 2021, 19:31

goncalves3718 escreveu: ↑07 Jan 2021, 11:18 Acho que devemos provar que [tex3]AD,BE[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]AD,BE[/tex3]
e [tex3]FC[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]FC[/tex3]
concorrem em um ponto [tex3]Q[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]Q[/tex3]
.
Dessa forma todo ponto [tex3]P[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]P[/tex3]
no interior do triângulo ABC cumprirá as restrições do enunciado.

Ittalo25, undefinied3, null, o que acham?

Se as 3 cevianas se encontram em um ponto, essa é uma situação específica que dá certo.
Nesse caso o teorema de ceva trigonométrico diz que: [tex3]sen(BAD)\cdot sen(CBE) \cdot sen(ACF) =sen(60^o-BAD)\cdot sen(60^o-CBE) \cdot sen(60^o-ACF) [/tex3]

: iqrt.png (70.51 KiB) Exibido 1043 vezes

Agora diminuindo o ângulo vermelho e fixando os outros 2. A situação já não serve mais, pois existe aquele espaço em branco do meio do triângulo onde o ponto P poderia estar.

: kw.png (56.18 KiB) Exibido 1043 vezes

Agora aumentando o ângulo vermelho (em relação à situação inicial de encontro das 3 cevianas) e fixando os outros 2. Essa situação sempre vai servir.

: oe.png (73.39 KiB) Exibido 1043 vezes

Mas o seno é crescente para ângulos de 0° até 60°. Ou seja, para resolver a questão basta provar:
[tex3]\boxed{sen(BAD)\cdot sen(CBE) \cdot sen(ACF) >sen(60^o-BAD)\cdot sen(60^o-CBE) \cdot sen(60^o-ACF)} [/tex3]
Tente provar isso, se não conseguir avise

08 Jan 2021, 00:14

Deveria ter corrido para o Geogebra!
Sim devemos provar essa desigualdade, mas o correto não seria provar

[tex3]\boxed{sen(BAD)\cdot sen(CBE) \cdot sen(ACF) \geq sen(60^o-BAD)\cdot sen(60^o-CBE) \cdot sen(60^o-ACF)} [/tex3] ?

Poderia dar uma ajudinha?

Mensagem não lidapor **Ittalo25** » 08 Jan 2021, 01:23 · Mensagem não lida por **Ittalo25** » 08 Jan 2021, 01:23

goncalves3718 escreveu: ↑08 Jan 2021, 00:14 Deveria ter corrido para o Geogebra!
Sim devemos provar essa desigualdade, mas o correto não seria provar

[tex3]\boxed{sen(BAD)\cdot sen(CBE) \cdot sen(ACF) \geq sen(60^o-BAD)\cdot sen(60^o-CBE) \cdot sen(60^o-ACF)} [/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]\boxed{sen(BAD)\cdot sen(CBE) \cdot sen(ACF) \geq sen(60^o-BAD)\cdot sen(60^o-CBE) \cdot sen(60^o-ACF)} [/tex3]
?

Poderia dar uma ajudinha?

A igualdade acontece quando [tex3]<BAD = <CBE = <ACF = 30^o [/tex3] , mas aí [tex3]\angle BAD + \angle CBE + \angle ACF =90^o< 120°[/tex3]

Enfim:

Sem perda de generalidade: [tex3]\angle BAD \leq \angle CBE \leq \angle ACF [/tex3]
Se [tex3]<BAD + <ACF < 60^o [/tex3] então [tex3]<CBE > 60^o [/tex3] , absurdo.
Então: [tex3]<BAD + <ACF > 60^o [/tex3]

Isso já dá:
[tex3]\begin{cases}
sen(BAD)>sen(60^o-ACF) \\
sen(ACF)>sen(60^o-BAD)
\end{cases}[/tex3]

Se [tex3]<CBE < 30^o [/tex3] , então: [tex3]<CBE + <BAD < 60 [/tex3] e consequentemente [tex3]ACF > 60 [/tex3] , absurdo.
Então: [tex3]<CBE > 30^o \rightarrow <CBE > 60^o-<CBE[/tex3]
Isso dá:
[tex3]sen(CBE) > sen(60^o-CBE) [/tex3]

Repara que considerei [tex3]ACF > 60 [/tex3] um absurdo pois para isso acontecer, o ponto F estaria no prolongamento de AB, mas nesse caso o triângulo ACF seria até maior que o triângulo ABC e nesse caso obviamente tomaria qualquer ponto P. Mesma explicação para [tex3]<CBE > 60^o [/tex3] ser absurdo.

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