Olimpíadas(Olimpíada Cearense - 1984) Binômio e sequência Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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matbatrobin
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Jan 2009 12 14:44

(Olimpíada Cearense - 1984) Binômio e sequência

Mensagem não lida por matbatrobin » Seg 12 Jan, 2009 14:44

Considere o desenvolvimento de
Como polinômio em potências de x. Encontre nesse desenvolvimento o coeficiente de
a)x^2.
b)x^{98}.

Última edição: matbatrobin (Seg 12 Jan, 2009 14:44). Total de 1 vez.



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filipeot
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Re: (Olimpíada Cearense - 1984) Binômio e sequência

Mensagem não lida por filipeot » Ter 21 Abr, 2009 22:18

Primeiro observe que:
(x+1)^n=\sum_{p=0}^{n} \left(\begin{array}{c} n  \\ p  \end{array}\right) \cdot x^p
Logo o coeficiente de x^2 é: \left(\begin{array}{c} n  \\ 2  \end{array}\right) e o coeficiente de x^{98} é: \left(\begin{array}{c} n  \\ 98  \end{array}\right)

a) Assim o coeficiente de x^2 de P vale:
\left(\begin{array}{c} 10  \\ 2  \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 11  \\ 2  \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 12  \\ 2  \end{array}\right)+...+\left(\begin{array}{c} 100  \\ 2  \end{array}\right)=
\[\left(\begin{array}{c} 2  \\ 2  \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 3  \\ 2  \end{array}\right)+...+\left(\begin{array}{c} 100  \\ 2  \end{array}\right) \]-\[ \left(\begin{array}{c} 2  \\ 2  \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 3  \\ 2  \end{array}\right)+...+\left(\begin{array}{c} 9  \\ 2  \end{array}\right) \]
Pelo teorema das colunas temos:
\left(\begin{array}{c} 101  \\ 3  \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} 10  \\ 3  \end{array}\right)=\frac{101!}{3!98!}-\frac{10!}{3!7!}=\frac{101 \cdot 100 \cdot 99}{3 \cdot 2}-\frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2}=166530

b) Assim o coeficiente de x^{98} de P vale:
\left(\begin{array}{c} 98  \\ 98  \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 99  \\ 98  \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 100  \\ 98  \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 101 \\ 99  \end{array}\right)=\frac{101!}{99!2!}=\frac{101 \cdot 100}{2}=5050

Última edição: filipeot (Ter 21 Abr, 2009 22:18). Total de 1 vez.


"A matemática não mente. Mente quem faz mau uso dela."
Albert Einstein

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