Olimpíadas(Olimpíada Cearense - 1984) Binômio e sequência Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
matbatrobin
3 - Destaque
Mensagens: 474
Registrado em: Sáb 30 Ago, 2008 14:41
Última visita: 13-12-18
Localização: Brasília-DF
Agradeceu: 2
Agradeceram: 16
Jan 2009 12 14:44

(Olimpíada Cearense - 1984) Binômio e sequência

Mensagem não lida por matbatrobin » Seg 12 Jan, 2009 14:44

Considere o desenvolvimento de
Como polinômio em potências de x. Encontre nesse desenvolvimento o coeficiente de
a)x^2.
b)x^{98}.

Última edição: matbatrobin (Seg 12 Jan, 2009 14:44). Total de 1 vez.



Avatar do usuário
filipeot
3 - Destaque
Mensagens: 402
Registrado em: Ter 06 Jan, 2009 09:30
Última visita: 22-12-14
Localização: Rio de Janeiro
Agradeceram: 12
Abr 2009 21 22:18

Re: (Olimpíada Cearense - 1984) Binômio e sequência

Mensagem não lida por filipeot » Ter 21 Abr, 2009 22:18

Primeiro observe que:
(x+1)^n=\sum_{p=0}^{n} \left(\begin{array}{c} n  \\ p  \end{array}\right) \cdot x^p
Logo o coeficiente de x^2 é: \left(\begin{array}{c} n  \\ 2  \end{array}\right) e o coeficiente de x^{98} é: \left(\begin{array}{c} n  \\ 98  \end{array}\right)

a) Assim o coeficiente de x^2 de P vale:
\left(\begin{array}{c} 10  \\ 2  \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 11  \\ 2  \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 12  \\ 2  \end{array}\right)+...+\left(\begin{array}{c} 100  \\ 2  \end{array}\right)=
\[\left(\begin{array}{c} 2  \\ 2  \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 3  \\ 2  \end{array}\right)+...+\left(\begin{array}{c} 100  \\ 2  \end{array}\right) \]-\[ \left(\begin{array}{c} 2  \\ 2  \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 3  \\ 2  \end{array}\right)+...+\left(\begin{array}{c} 9  \\ 2  \end{array}\right) \]
Pelo teorema das colunas temos:
\left(\begin{array}{c} 101  \\ 3  \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} 10  \\ 3  \end{array}\right)=\frac{101!}{3!98!}-\frac{10!}{3!7!}=\frac{101 \cdot 100 \cdot 99}{3 \cdot 2}-\frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2}=166530

b) Assim o coeficiente de x^{98} de P vale:
\left(\begin{array}{c} 98  \\ 98  \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 99  \\ 98  \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 100  \\ 98  \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 101 \\ 99  \end{array}\right)=\frac{101!}{99!2!}=\frac{101 \cdot 100}{2}=5050

Última edição: filipeot (Ter 21 Abr, 2009 22:18). Total de 1 vez.


"A matemática não mente. Mente quem faz mau uso dela."
Albert Einstein

Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg
  • Nova mensagem (Olimpíada Cearense de Matemática-97) Polinômio
    por Auto Excluído (ID:19677) » Sex 06 Abr, 2018 22:27 » em Olimpíadas
    2 Respostas
    519 Exibições
    Última msg por AugustoCRF
    Sáb 07 Abr, 2018 13:45
  • Nova mensagem Olimpíada da Bulgária - 2004 - Sequência e Permutação
    por Auto Excluído (ID:17906) » Dom 14 Mai, 2017 20:06 » em Olimpíadas
    0 Respostas
    301 Exibições
    Última msg por Auto Excluído (ID:17906)
    Dom 14 Mai, 2017 20:06
  • Nova mensagem (USA 1984) Equação Polinomial
    por Hanon » Seg 01 Jan, 2018 00:23 » em Olimpíadas
    2 Respostas
    361 Exibições
    Última msg por Hanon
    Seg 01 Jan, 2018 12:05
  • Nova mensagem (CN-1984) Inequação
    por Auto Excluído (ID:17906) » Sáb 06 Jan, 2018 14:38 » em IME / ITA
    7 Respostas
    475 Exibições
    Última msg por lorramrj
    Sáb 06 Jan, 2018 15:18
  • Nova mensagem (CN/1984) Segmentos Tangentes
    por WagnerMachado » Sáb 17 Fev, 2018 22:24 » em IME / ITA
    2 Respostas
    289 Exibições
    Última msg por WagnerMachado
    Sáb 17 Fev, 2018 22:44

Voltar para “Olimpíadas”