Olimpíadas ⇒ (Olimpíada Cearense - 1982) Polinômios Tópico resolvido
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matbatrobin 
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11
20:18
(Olimpíada Cearense - 1982) Polinômios
Um polinômio [tex3]P(x)[/tex3]
dividido por [tex3]x+1[/tex3]
tem como resto 4, e a divisão por [tex3]x^2+1[/tex3]
deixa resto [tex3]2x+3[/tex3]
. Calcular o resto da divisão de [tex3]P(x)[/tex3]
por [tex3](x+1)(x^2+1)[/tex3]
.
Última edição: matbatrobin (Dom 11 Jan, 2009 20:18). Total de 1 vez.
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adrianotavares
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Jan 2009
11
23:48
Re: (Olimpíada Cearense - 1982) Polinômios
Olá, matbatrobin.
Pelo Teorema do resto, [tex3]P(x+1)=4[/tex3] e [tex3]P(x^2+1)= 2x+3[/tex3]
[tex3](x^2+1)=(x+i)(x-i)[/tex3]
[tex3]P(x)= [(x+1)(x+i)(x-i)].Q(x)+ ax^2+bx+c[/tex3]
[tex3]P(-1)= [(-1+1)(1+i)(1-i).Q(x)+ a-b+c=4[/tex3]
[tex3]\underbrace{[(-1+1)(1+i)(1-i)]Q(x)}=0[/tex3]
[tex3]a-b+c=4[/tex3] [tex3](1)[/tex3]
[tex3]P(x)= [(x+1)(x+i)(x-i)].Q(x)+ ax^2+bx+c[/tex3]
[tex3]P(i)= [(i+1)(i+i)(i-i).Q(x) -a+bi+c=2i+3[/tex3]
[tex3]\underbrace{[(i+1)(i+i)(i-i)]Q(x)}=0[/tex3]
[tex3](c-a)+bi= 3+2i[/tex3] [tex3](ii)[/tex3]
[tex3]P(x)= [(x+1)(x+i)(x-i)].Q(x)+ ax^2+bx+c[/tex3]
[tex3]P(-i)= [(-i+1)(-i+i)(-i-i).Q(x)- a-bi+c=-2i+3[/tex3]
[tex3]\underbrace{[(-i+1)(-i+i)(i-i)]Q(x)}=0[/tex3]
[tex3](c-a)-bi=3-2i[/tex3] [tex3](iii)[/tex3]
[tex3]a-b+c=4[/tex3] [tex3](i)[/tex3]
[tex3](c-a)+bi= 3+2i[/tex3] [tex3](ii)[/tex3]
[tex3](c-a)-bi= 3-2i[/tex3] [tex3](iii)[/tex3]
Resolvendo [tex3](ii)[/tex3] teremos:
[tex3]b=2[/tex3]
[tex3]c-a=3[/tex3]
[tex3]c=a+3[/tex3] [tex3](iv)[/tex3]
Substituindo [tex3](iv)[/tex3] em [tex3](i)[/tex3] teremos:
[tex3]a-b+c=4[/tex3]
[tex3]a-2+a+3=4[/tex3]
[tex3]a= \frac{3}{2}[/tex3]
[tex3]c= \frac{9}{2}[/tex3]
[tex3]R(x) = ax^2 +bx +c[/tex3]
[tex3]R(x)= \frac{3}{2}x^2+2x+\frac{9}{2}[/tex3]
Pelo Teorema do resto, [tex3]P(x+1)=4[/tex3] e [tex3]P(x^2+1)= 2x+3[/tex3]
[tex3](x^2+1)=(x+i)(x-i)[/tex3]
[tex3]P(x)= [(x+1)(x+i)(x-i)].Q(x)+ ax^2+bx+c[/tex3]
[tex3]P(-1)= [(-1+1)(1+i)(1-i).Q(x)+ a-b+c=4[/tex3]
[tex3]\underbrace{[(-1+1)(1+i)(1-i)]Q(x)}=0[/tex3]
[tex3]a-b+c=4[/tex3] [tex3](1)[/tex3]
[tex3]P(x)= [(x+1)(x+i)(x-i)].Q(x)+ ax^2+bx+c[/tex3]
[tex3]P(i)= [(i+1)(i+i)(i-i).Q(x) -a+bi+c=2i+3[/tex3]
[tex3]\underbrace{[(i+1)(i+i)(i-i)]Q(x)}=0[/tex3]
[tex3](c-a)+bi= 3+2i[/tex3] [tex3](ii)[/tex3]
[tex3]P(x)= [(x+1)(x+i)(x-i)].Q(x)+ ax^2+bx+c[/tex3]
[tex3]P(-i)= [(-i+1)(-i+i)(-i-i).Q(x)- a-bi+c=-2i+3[/tex3]
[tex3]\underbrace{[(-i+1)(-i+i)(i-i)]Q(x)}=0[/tex3]
[tex3](c-a)-bi=3-2i[/tex3] [tex3](iii)[/tex3]
[tex3]a-b+c=4[/tex3] [tex3](i)[/tex3]
[tex3](c-a)+bi= 3+2i[/tex3] [tex3](ii)[/tex3]
[tex3](c-a)-bi= 3-2i[/tex3] [tex3](iii)[/tex3]
Resolvendo [tex3](ii)[/tex3] teremos:
[tex3]b=2[/tex3]
[tex3]c-a=3[/tex3]
[tex3]c=a+3[/tex3] [tex3](iv)[/tex3]
Substituindo [tex3](iv)[/tex3] em [tex3](i)[/tex3] teremos:
[tex3]a-b+c=4[/tex3]
[tex3]a-2+a+3=4[/tex3]
[tex3]a= \frac{3}{2}[/tex3]
[tex3]c= \frac{9}{2}[/tex3]
[tex3]R(x) = ax^2 +bx +c[/tex3]
[tex3]R(x)= \frac{3}{2}x^2+2x+\frac{9}{2}[/tex3]
Última edição: adrianotavares (Dom 11 Jan, 2009 23:48). Total de 1 vez.
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