OlimpíadasQuadrado e circunferência Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Hanon
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Quadrado e circunferência

Mensagem não lida por Hanon »

Seja [tex3]x[/tex3] o lado do quadrado, determine a medida do raio da circunferência hachurada em função de [tex3]x[/tex3] . (Obs.: A circunferência hachurada é tangente ao quadrante e as duas semicircunferencias construidas sobre os lados do quadrado).
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undefinied3
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Re: Quadrado e circunferência

Mensagem não lida por undefinied3 »

Vou apelar pra inversão porque... bem, fica praticamente trivial.

Considere todos os arcos de circunferência como a circunferência inteira.

Considere também uma circunferência de raio x, centrada em A, [tex3]\Lambda[/tex3] . Considere o quadrado como ABCD, A o canto inferior esquerdo, B o inferior direito, e assim por diante, em sentido anti-horário.

Seja [tex3]\omega_1[/tex3] a circunferência com centro no segmento AB, [tex3]\omega_2[/tex3] a circunferência com centro em B, e [tex3]\omega_3[/tex3] a circunferência com centro em [tex3]DA[/tex3] .

É fácil de ver que
- a inversão de [tex3]\omega_1[/tex3] em relação à circunferência [tex3]\Lambda[/tex3] será a reta que contém o segmento BC, pois [tex3]\omega_1[/tex3] é tangente à [tex3]\Lambda[/tex3] em B; Essa é uma reta vertical
- a inversão de [tex3]\omega_2[/tex3] em relação à circunferência [tex3]\Lambda[/tex3] será uma reta paralela a BC, passando pelo ponto médio do segmento AB (ou seja, pelo centro de [tex3]\omega_1[/tex3] ), pois é o eixo radical; Essa é uma reta vertical
- a inversão de [tex3]\omega_3[/tex3] em relação à circunferência [tex3]\Lambda[/tex3] será a reta que contém o segmento CD, pois [tex3]\omega_3[/tex3] é tangente à [tex3]\Lambda[/tex3] em D. Essa é uma reta horizontal

Seja [tex3]\omega_4[/tex3] a circunferência do enunciado que queremos calcular o raio, e é tangente à [tex3]\omega_{1,2,3}[/tex3] , simultaneamente. Sua inversão também deve ser tangente simultaneamente às inversões das demais circunferências.
Mas isso torna o problema trivial, pois o problema se torna desenhar uma circunferência tangente à duas retas paralelas entre si, e uma perpendicular a essas duas.

Agora, veja algo interessante: tem duas circunferências possíveis. Uma que fica acima da reta horizontal e outra que fica abaixo. De qualquer forma, estamos interessados em calcular o raio. Como são duas retas paralelas distantes de [tex3]\frac{x}{2}[/tex3] , o raio é de [tex3]r=\frac{x}{4}[/tex3] . Os dois círculos estão nas coordenadas [tex3](\frac{3x}{4}, \frac{3x}{4})[/tex3] e [tex3](\frac{3x}{4},\frac{5x}{4})[/tex3] . Ou seja, as distâncias entre o centro do círculo de inversão, e os círculos invertidos, são [tex3]d_1=\sqrt{\frac{9x^2}{16}+\frac{9x^2}{16}}=\frac{3x\sqrt{2}}{4}[/tex3] e [tex3]d_2=\sqrt{\frac{9x^2}{16}+\frac{25x^2}{16}}=\frac{x\sqrt{34}}{4}[/tex3] .

Desfazendo as inversões:

[tex3]r_1=\frac{k^2r}{d_1^2-r^{2}}=\frac{x^2 . \frac{x}{4}}{\frac{18x^2}{16}-\frac{x^2}{16}}=\frac{4x}{17}[/tex3]
[tex3]r_2=\frac{k^2r}{d_2^2-r^{2}}=\frac{x^2 . \frac{x}{4}}{\frac{34x^2}{16}-\frac{x^2}{16}}=\frac{4x}{33}[/tex3]

Sendo k o raio do círculo [tex3]\Lambda[/tex3] , ou seja, o círculo em relação ao qual invertemos os demais objetos.

Então a resposta do problema é o menor desses raios, [tex3]\frac{4x}{33}[/tex3] . O outro raio, [tex3]\frac{4x}{17}[/tex3] , é o raio do círculo que é tangente externo a [tex3]\omega_1[/tex3] , interno a [tex3]\omega_2[/tex3] , mas é tangente externo a [tex3]\omega_3[/tex3] . Tá tudo na figura anexada. Deixei os pares de inversão com a mesma cor. O círculo verde é [tex3]\Lambda[/tex3] .
Anexos
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Última edição: undefinied3 (Dom 27 Dez, 2020 00:22). Total de 1 vez.


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Re: Quadrado e circunferência

Mensagem não lida por Hanon »

Como VC determinou as coordenadas dos circulos e como funciona esse processo de desfazer a inversão para obter o raio?



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geobson
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Re: Quadrado e circunferência

Mensagem não lida por geobson »

undefinied3, simplesmente fascinante , esse negócio de inversão , polo , polar , realmente me seduz. Preciso me aprofundar nesse assunto.



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undefinied3
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Re: Quadrado e circunferência

Mensagem não lida por undefinied3 »

Como eu determinei as coordenadas dos círculos:
Você diz dos círculos invertidos? Nesse caso, como eu disse a respeito das tangências que devem ser mantidas após inversão, temos que [tex3]\omega_{1,2,3}[/tex3] são levadas às retas BC, B'C' e DC, com BC e DC as próprias da figura, e B'C' uma reta paralela a BC, passando pelo ponto médio do lado AB. Ou seja, sabemos as coordenadas exatas dessa reta em relação ao quadrado de lado x. A inversão do círculo que procuramos deve ser um círculo tangente a essas três retas, então as possibilidades são aquele círculo azul ou aquele círculo vermelho p ou aquele círculo vermelho q, na figura. As coordenadas deles são fáceis de calcular, pois eles são tangentes à retas paralelas e uma perpendicular: o raio vai ser simplesmente a meia distância das retas paralelas, a coordenada X vai estar também na meia distância das retas paralelas, e a coordenada Y vai ser a coordenada Y da reta horizontal +- o raio. + o raio forma o círculo q, - o raio forma o círculo p.

Como funciona esse processo de desfazer a inversão para obter o raio:
No caso, apenas para eu deixar mais claro, essa fórmula é para calcular o raio de uma circunferência, dado que temos o raio da circunferência invertida. A prova dele está no link abaixo, seção 3:
https://artofproblemsolving.com/wiki/in ... _Inversion
Última edição: undefinied3 (Dom 27 Dez, 2020 19:17). Total de 1 vez.


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Re: Quadrado e circunferência

Mensagem não lida por Hanon »

undefinied3 escreveu:
Dom 27 Dez, 2020 18:49
Como eu determinei as coordenadas dos círculos:
Você diz dos círculos invertidos? Nesse caso, como eu disse a respeito das tangências que devem ser mantidas após inversão, temos que [tex3]\omega_{1,2,3}[/tex3] são levadas às retas BC, B'C' e DC, com BC e DC as próprias da figura, e B'C' uma reta paralela a BC, passando pelo ponto médio do lado BC. Ou seja, sabemos as coordenadas exatas dessa reta em relação ao quadrado de lado x. A inversão do círculo que procuramos deve ser um círculo tangente a essas três retas, então as possibilidades são aquele círculo azul ou aquele círculo vermelho p ou aquele círculo vermelho q, na figura. As coordenadas deles são fáceis de calcular, pois eles são tangentes à retas paralelas e uma perpendicular: o raio vai ser simplesmente a meia distância das retas paralelas, a coordenada X vai estar também na meia distância das retas paralelas, e a coordenada Y vai ser a coordenada Y da reta horizontal +- o raio. + o raio forma o círculo q, - o raio forma o círculo p.

Como funciona esse processo de desfazer a inversão para obter o raio:
No caso, apenas para eu deixar mais claro, essa fórmula é para calcular o raio de uma circunferência, dado que temos o raio da circunferência invertida. A prova dele está no link abaixo, seção 3:
https://artofproblemsolving.com/wiki/in ... _Inversion
Muito obrigado!




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