OlimpíadasGeometria Plana - Problema 46 (A circunferencia de Apollonius)

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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jvmago
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Dez 2020 25 10:22

Geometria Plana - Problema 46 (A circunferencia de Apollonius)

Mensagem não lida por jvmago »

Em um [tex3]\Delta ABC[/tex3] , equilátero, tem-se [tex3]O[/tex3] como centro. Sejam [tex3]M,N[/tex3] os pontos de tangencia só te [tex3]AB,AC[/tex3] tal que por [tex3]A[/tex3] traça-se a ceviana [tex3]AK[/tex3] que intercepta a circunferencia inscrita, de raio [tex3]r[/tex3] , nos pontos [tex3]P,Q[/tex3] .

Sabendo-se que [tex3]T[/tex3] é o ponto médio da corda [tex3]MN[/tex3] então se [tex3]PT=a[/tex3] e [tex3]TQ=b[/tex3]

mostre que [tex3]4ab=3r²[/tex3]

Última edição: jvmago (Sex 25 Dez, 2020 10:23). Total de 2 vezes.


Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

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jedi
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Jan 2021 15 21:59

Re: Geometria Plana - Problema 46 (A circunferencia de Apollonius)

Mensagem não lida por jedi »

apolonius.png
apolonius.png (10.77 KiB) Exibido 982 vezes
Sendo L o lado do triângulo MAN e r o raio da circunferência

[tex3]L=\sqrt3.r[/tex3]

[tex3]AP.AQ=L^2[/tex3]

[tex3]AP.AQ=3.r^2[/tex3]

[tex3]AD(AD+2r)=L^2[/tex3]

[tex3]AD(AD+2r)=3r^2[/tex3]

[tex3]AD=r[/tex3]

[tex3]OA=2r[/tex3]

[tex3]OT=\frac{r}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{OT}{OQ}=\frac{r}{2}.\frac{1}{r}=\frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{OQ}{OA}=\frac{r}{2r}=\frac{1}{2}[/tex3]

como o ângulo [tex3]\hat{AOQ}[/tex3] é comum aos triângulos [tex3]\Delta AOQ[/tex3] e [tex3]\Delta TOQ[/tex3] e a relação de proporção entre seus lados são iguais, concluíamos que os triângulos são semelhantes, então:

[tex3]\frac{AQ}{TQ}=\frac{AO}{OQ}[/tex3]

[tex3]\frac{AQ}{b}=\frac{2r}{r}[/tex3]

[tex3]AQ=2b[/tex3]

da mesma forma o ângulo [tex3]\hat{AOP}[/tex3] é comum aos triângulos [tex3]\Delta AOP[/tex3] e [tex3]\Delta TOP[/tex3] e a proporção entre seus lados são iguais, então concluímos que os triângulos também são semelhantes, então:

[tex3]\frac{AP}{TP}=\frac{AO}{PO}[/tex3]

[tex3]\frac{AP}{a}=\frac{2r}{r}[/tex3]

[tex3]AP=2a[/tex3]

[tex3]AP.AQ=3.r^2[/tex3]

[tex3]2b.2a=3.r^2[/tex3]

[tex3]3r^2=4ab[/tex3]




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