OlimpíadasTST China - 1988 (Função)

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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goncalves3718
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Dez 2020 19 16:30

TST China - 1988 (Função)

Mensagem não lida por goncalves3718 »

Encontre todas as funções [tex3]\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{C}[/tex3] que satisfazem:

i) Para todo [tex3]x_1,x_2,...,x_{1988} \in \mathbb{Q}[/tex3] , [tex3]f(x_1+x_2+...+x_{1988}) = f(x_1)f(x_2)...f(x_{1988})[/tex3]
ii) [tex3]\overline{f(1988}f(x) = f(1988)\overline{f(x)}[/tex3] para todo [tex3]x \in \mathbb{Q}[/tex3] .




FelipeMartin
4 - Sabe Tudo
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Dez 2020 19 16:46

Re: TST China - 1988 (Função)

Mensagem não lida por FelipeMartin »

Vou começar:
faça:
[tex3]x_2 =... = x_{1998} = 0[/tex3]
[tex3]f(x_1) = f(x_1) \cdot f(0)^{1987}[/tex3]
uma solução é evidentemente [tex3]f(x_1) = 0, \,\, \forall x_1 \in \mathbb Q[/tex3]
não sendo este o caso: [tex3]f(0)^{1987} =1 \iff f(0)[/tex3] é alguma raíz [tex3]1987-[/tex3] ésima da unidade.

Acho que dá pra provar por indução que [tex3]f(\sum x) = \prod f(x)[/tex3] para mais de [tex3]1988[/tex3] termos.



φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.

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