Olimpíadas ⇒ (Olipíada de Maio - 1997) Geometria plana Tópico resolvido
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Jan 2009
08
21:02
(Olipíada de Maio - 1997) Geometria plana
No retângulo ABCD de lados AB, BC, CD e DA seja P um ponto do lado AD tal que [tex3]B\hat{P}C=90^{\circ}[/tex3]
. A perpendicular a BP traçada por A corta BP em M e a perpendicular a CP traçada por D corta CP em N. Demonstre que o centro do retângulo está no segmento MN.
Última edição: matbatrobin (Qui 08 Jan, 2009 21:02). Total de 1 vez.
Jan 2009
13
19:13
Re: (Olipíada de Maio - 1997) Geometria plana
Existe uma simetria a ser explorada. Sejam BC=u e AB=v os comprimentos respectivos da base e da altura de ABCD.
Chamando [tex3]\theta=B\hat{A}M[/tex3] , temos [tex3]\theta=A\hat{P}B=P\hat{D}N=D\hat{C}N[/tex3] .
Chamando AP=x, imediatamente PD=u-x.
Prolongando DN na direção de BC, ele corta a base BC num ponto Q. Ocorre que BPDQ é paralelogramo e portanto BQ=u-x.
Se repetirmos o argumento para um possível paralelogramo APCS, sendo AS o prolongamento de AM, ficamos com CS=x.
Somando BQ+CS, temos u-x+x=u, que prova que os pontos Q e S na verdade são o mesmo ponto, isto é, S=Q.
Forma-se um retângulo MPNQ disposto simetricamente no interior de ABCD. Logo seus centros coincidem, sendo MN uma diagonal do retângulo MPNQ, tendo seu ponto médio no centro do retângulo ABCD.
cqd
Chamando [tex3]\theta=B\hat{A}M[/tex3] , temos [tex3]\theta=A\hat{P}B=P\hat{D}N=D\hat{C}N[/tex3] .
Chamando AP=x, imediatamente PD=u-x.
Prolongando DN na direção de BC, ele corta a base BC num ponto Q. Ocorre que BPDQ é paralelogramo e portanto BQ=u-x.
Se repetirmos o argumento para um possível paralelogramo APCS, sendo AS o prolongamento de AM, ficamos com CS=x.
Somando BQ+CS, temos u-x+x=u, que prova que os pontos Q e S na verdade são o mesmo ponto, isto é, S=Q.
Forma-se um retângulo MPNQ disposto simetricamente no interior de ABCD. Logo seus centros coincidem, sendo MN uma diagonal do retângulo MPNQ, tendo seu ponto médio no centro do retângulo ABCD.
cqd
Última edição: fabit (Ter 13 Jan, 2009 19:13). Total de 1 vez.
SAUDAÇÕES RUBRONEGRAS HEXACAMPEÃS !!!!!!!!!!!
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