OlimpíadasIMO - 1968 - Função piso

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Ittalo25
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IMO - 1968 - Função piso

Mensagem não lida por Ittalo25 »

Questão removida da l Maratona Olímpica de Teoria dos Números conforme a regra número 6.

Para todo número natural n, calcule o valor da soma:
[tex3]⌊{n+1\over 2}⌋+⌊{n+2\over 4}⌋+⌊{n+4\over 8}⌋+⌊{n+8\over 16}⌋+...+⌊{n+2^k\over 2^{k+1}}⌋+...[/tex3]
Resposta

n



Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

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NigrumCibum
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Jan 2021 22 10:11

Re: IMO - 1968 - Função piso

Mensagem não lida por NigrumCibum »

Identidade de Hermite: Sendo x um número real e n um número inteiro positivo, então segue: [tex3]⌊x⌋+⌊x+\frac{1}{n}⌋+⌊x+\frac{2}{n}⌋+\dots+⌊x+\frac{n-1}{n}⌋=⌊nx⌋.[/tex3]
Adotanto n=2 na identidade, obtém-se: [tex3]⌊x+\frac{1}{2}⌋=⌊2x⌋-⌊x⌋.[/tex3]
A soma pode ser escrita da seguinte forma: [tex3]S=\sum_{k=0}^{\infty} ⌊\frac{n}{2^{k+1}}+\frac{1}{2}⌋.[/tex3] Substituindo a indentidade, temos: [tex3]S=\sum_{k=0}^{\infty} ⌊\frac{n}{2^k}⌋-\sum_{k=0}^{\infty} ⌊\frac{n}{2^{k+1}}⌋[/tex3] [tex3]=(⌊n⌋+⌊\frac{n}{2}⌋+⌊\frac{n}{4}⌋+\dots)-(⌊\frac{n}{2}⌋+⌊\frac{n}{4}⌋+\dots)=⌊n⌋=n[/tex3] .

Última edição: NigrumCibum (Sex 22 Jan, 2021 12:34). Total de 4 vezes.


Soleil de minuit.

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