Olimpíadas ⇒ (IMO-2008) - Inequação Tópico resolvido

[matbatrobin]

a) Prove que

• [tex3]\frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2}\geq 1[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]\frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2}\geq 1[/tex3]

para todos os números [tex3]x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x[/tex3]

, [tex3]y[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y[/tex3]

, [tex3]z[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z[/tex3]

diferentes de 1, com [tex3]xyz[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]xyz[/tex3]

=1.

[triplebig]

Seja [tex3]a=\frac{x}{1-x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a=\frac{x}{1-x}[/tex3]

, [tex3]b=\frac{y}{1-y}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b=\frac{y}{1-y}[/tex3]

, e [tex3]c=\frac{z}{1-z}[/tex3]

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[tex3]c=\frac{z}{1-z}[/tex3]

;

(1) [tex3]abc=\frac{xyz}{(1-x)(1-y)(1-z)}=\frac{1}{(1-x)(1-y)(1-z)}=\frac{1}{1-x}\cdot\frac{1}{1-y}\cdot\frac{1}{1-z}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]abc=\frac{xyz}{(1-x)(1-y)(1-z)}=\frac{1}{(1-x)(1-y)(1-z)}=\frac{1}{1-x}\cdot\frac{1}{1-y}\cdot\frac{1}{1-z}[/tex3]

(2) [tex3]a+1=\frac{x}{1-x}+1=\frac{1}{1-x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a+1=\frac{x}{1-x}+1=\frac{1}{1-x}[/tex3]

Comparando (1) e (2) chegamos à seguinte igualdade:

[tex3]abc=(a+1)(b+1)(c+1)\Leftright abc=abc+ab+bc+ab+a+b+c+1\Leftright \boxed{ab+bc+ac+a+b+c+1=0}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]abc=(a+1)(b+1)(c+1)\Leftright abc=abc+ab+bc+ab+a+b+c+1\Leftright \boxed{ab+bc+ac+a+b+c+1=0}[/tex3]

Fazendo algumas transformações:

[tex3]a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ac)+2(a+b+c)+2=a^2+b^2+c^2\\ (a+b+c)^2+2(a+b+c)+2=a^2+b^2+c^2
\\ \boxed{(a+b+c+1)^2+1=a^2+b^2+c^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ac)+2(a+b+c)+2=a^2+b^2+c^2\\ (a+b+c)^2+2(a+b+c)+2=a^2+b^2+c^2
\\ \boxed{(a+b+c+1)^2+1=a^2+b^2+c^2}[/tex3]

Queremos provar que [tex3]a^2+b^2+c^2\geq 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^2+b^2+c^2\geq 1[/tex3]

. Substituindo a igualdade encontrada acima:

[tex3](a+b+c+1)^2+1\geq 1\Leftright (a+b+c+1)^2\geq 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a+b+c+1)^2+1\geq 1\Leftright (a+b+c+1)^2\geq 0[/tex3]

, que é sempre verdadeiro.