Olimpíadas ⇒ (POTI N2) Problema 14 - Aula 11 - Equação Funcional Tópico resolvido

[goncalves3718]

Determine todas as funções [tex3]f: \mathbb{Z_+} \rightarrow \mathbb{Z_+}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f: \mathbb{Z_+} \rightarrow \mathbb{Z_+}[/tex3]

, injetoras, satisfazendo:

[tex3]f(m+f(n)) = f(f(m)) + f(n) , \forall m,n \in \mathbb{Z_+}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(m+f(n)) = f(f(m)) + f(n) , \forall m,n \in \mathbb{Z_+}[/tex3]

[goncalves3718]

Sendo [tex3]m=n=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m=n=0[/tex3]

:

[tex3]f(f(0)) = f(f(0)) + f(0) \implies f(f(0)) - f(f(0)) =f(0) \implies \boxed{f(0)=0}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(f(0)) = f(f(0)) + f(0) \implies f(f(0)) - f(f(0)) =f(0) \implies \boxed{f(0)=0}[/tex3]

Sendo apenas [tex3]n=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n=0[/tex3]

:

[tex3]f(m+f(0)) = f(f(m)) + f(0) \implies f(m) = f(f(m))[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(m+f(0)) = f(f(m)) + f(0) \implies f(m) = f(f(m))[/tex3]

Lembre-se:

Resposta

---

Se uma função é injetora e [tex3]f(a)=f(b)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(a)=f(b)[/tex3]

, então [tex3]a=b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a=b[/tex3]

Logo:

[tex3]m = f(m) \,\,\forall m \in \mathbb{Z_+}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m = f(m) \,\,\forall m \in \mathbb{Z_+}[/tex3]

(SOLUÇÃO)

[FelipeMartin]

como que você se dá o selo de resposta oficial?

[goncalves3718]

Não entendi sua pergunta!

[FelipeMartin]

eu, quando faço uma pergunta, não posso me dar a marca verde na minha própria resposta. Aparece uma mensagem dizendo que não é possível. Eu não sei como você consegue aceitar sua própria resposta na sua pergunta.

[goncalves3718]

Não sei Felipe, estou fazendo isso para que futuramente todos possam acessar o material do POTI resolvido aqui no fórum!
Espero fazer todas as listas