Olimpíadas(POTI N2) Problema 13 - Aula 11 - Equação Funcional Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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(POTI N2) Problema 13 - Aula 11 - Equação Funcional

Mensagem não lida por goncalves3718 »

Se [tex3]f(n+1) = (-1)^{n+1} \cdot n - 2f(n)[/tex3] para os inteiros [tex3]n \geq 1[/tex3] e [tex3]f(1)=f(2013)[/tex3] , determine o valor da soma:


[tex3]f(1)+f(2)+f(3)+ \cdots f(2012)[/tex3]

Última edição: goncalves3718 (Dom 25 Out, 2020 10:48). Total de 1 vez.



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Re: (POTI N2) Problema 14 - Aula 11 - Equação Funcional

Mensagem não lida por goncalves3718 »

Substituindo [tex3]n = 1,2,\cdots ,2012[/tex3] :

[tex3]f(2)= 1 - 2f(1)[/tex3]
[tex3]f(3) = -2-2f(2)[/tex3]
[tex3]\vdots[/tex3]
[tex3]f(2012) = 2011 -2f(2011)[/tex3]
[tex3]f(2013) = -2012 - 2f(2012)[/tex3]

Somando tudo:

[tex3]f(2)+f(3)+ \cdots f(2012)+f(2013) = (1-2)+\cdots (2011-2012) -2(f(1)+f(2)+ \cdots f(2011)+f(2012))[/tex3]

Vamos chamar a soma [tex3]f(1)+f(2)+ \cdots +f(2011)+f(2012)[/tex3] de [tex3]A[/tex3] .

[tex3]f(2)+f(3)+ \cdots f(2012)+f(1) = (1-2)+\cdots (2011-2012) -2(f(1)+f(2)+ \cdots f(2011)+f(2012))[/tex3]

[tex3]A = \underbrace{-1-1\cdots -1}_{\text{1006 vezes}} -2A \implies A= - 1006 -2A \implies 3A = -1006 \implies \boxed{\boxed{A = -\dfrac{1006}{3}}}[/tex3]




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