Olimpíadas ⇒ (POTI N2) Problema 8 - Aula 11 - Equação Funcional Tópico resolvido

[goncalves3718]

Determine todas as funções [tex3]f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/tex3]

satisfazendo

[tex3]f(x)f(y)-f(xy) =x+y, \, \forall x,y[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)f(y)-f(xy) =x+y, \, \forall x,y[/tex3]

.

[goncalves3718]

Sendo [tex3]x=y=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=y=0[/tex3]

:

[tex3]f(0)f(0) - f(0) = 0 \implies (f(0))^2 - f(0) = 0 \implies f(0)\cdot[(f(0) - 1] =0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(0)f(0) - f(0) = 0 \implies (f(0))^2 - f(0) = 0 \implies f(0)\cdot[(f(0) - 1] =0[/tex3]

Logo [tex3]f(0) = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(0) = 0[/tex3]

ou [tex3]f(0)-1 = 0 \implies f(0)=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(0)-1 = 0 \implies f(0)=1[/tex3]

Sendo apenas [tex3]y=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y=0[/tex3]

:

[tex3]f(x) \cdot f(0) - f(0) = x \implies [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x) \cdot f(0) - f(0) = x \implies [/tex3]

Se [tex3]f(0) = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(0) = 0[/tex3]

, teremos a seguinte relação:

[tex3]f(x) \cdot 0 - 0 = x \implies x=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x) \cdot 0 - 0 = x \implies x=0[/tex3]

, ou seja voltaremos no caso [tex3]x=y=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=y=0[/tex3]

, que não era o que queríamos.

Logo [tex3]f(0)=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(0)=1[/tex3]

[tex3]f(x) \cdot 1 - 1 = x \implies \boxed{f(x) = x+1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x) \cdot 1 - 1 = x \implies \boxed{f(x) = x+1}[/tex3]

(ÚNICA SOLUÇÃO)