Olimpíadas

Para todos os inteiros [tex3]x[/tex3] , a função [tex3]f[/tex3] satisfaz [tex3]f(x+1) = \dfrac{1+f(x)}{1-f(x)}[/tex3] . Se [tex3]f(1) = 3[/tex3] , calcule [tex3]f(2012)[/tex3] .

Resposta

No material, [tex3]f(1) = 2[/tex3] , porém a resposta final é aquela, apenas quando [tex3]f(1)=3[/tex3]

[tex3]f(1)=3[/tex3]

[tex3]x=1[/tex3] :

[tex3]f(2) = \dfrac{1+f(1)}{1-f(1)} = \dfrac{1+3}{1-3} = \dfrac{4}{-2} = -2[/tex3]

[tex3]x=2[/tex3] :

[tex3]f(3) = \dfrac{1+f(2)}{1-f(2)} = \dfrac{1+(-2)}{1-(-2)} = \dfrac{-1}{3} = -\dfrac{1}{3}[/tex3]

[tex3]x=3[/tex3] :

[tex3]f(4) = \dfrac{1+f(3)}{1-f(3)} = \dfrac{1+ \left( -\dfrac{1}{3}\right)}{1-\left( -\dfrac{1}{3} \right)} = \dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{4}{3}} = \dfrac{1}{2}[/tex3]

[tex3]x=4[/tex3] :

[tex3]f(5) = \dfrac{1+f(4)}{1-f(4)} = \dfrac{1+ \dfrac{1}{2}}{1- \dfrac{1}{2}} = \dfrac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{1}{2}} = 3[/tex3]

Como [tex3]3[/tex3] apareceu novamente e é o mesmo valor de [tex3]f(1)[/tex3] ao substituirmos iremos encontrar os mesmos valores, ou sjea:

[tex3]3;-2;\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{2}[/tex3] (se repetirá de [tex3]4[/tex3] em [tex3]4[/tex3] )

Como [tex3]2012[/tex3] é múltiplo de [tex3]4[/tex3] , teremos [tex3]503[/tex3] sequências como essa e [tex3]f(2012) = \dfrac{1}{2}[/tex3]

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