Olimpíadas

Seja [tex3]f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} [/tex3] uma função tal que [tex3]f(0)=1[/tex3] e, para quaisquer [tex3]x,y \in \mathbb{R}[/tex3] ,

[tex3]f(xy+1) = f(x)f(y) - f(y) - x + 2[/tex3]

Determine o valor de [tex3]f(2012)[/tex3]

Sendo [tex3]x=y=0[/tex3]

[tex3]f(1) = (f(0))^2 - f(0) + 2[/tex3]

Como [tex3]f(0) = 1[/tex3] :

[tex3]f(1) = 1 - 1 + 2 \implies \boxed{f(1) =2}[/tex3]

Trabalhando com apenas uma variável, seja [tex3]y=1[/tex3] :

[tex3]f(x+1) = f(x)f(1) - f(1) - x +2 \implies f(x+1) = 2f(x) - 2 - x +2 \implies f(x+1) = 2f(x) -x[/tex3]

Substituindo, encontramos que:

[tex3]f(2) = 3[/tex3]
[tex3]f(3) = 4[/tex3]
.
.
.

Logo, provaremos por indução que [tex3]f(x) = x+1 [/tex3] !
Os casos inicias já foram provados, logo queremos provar que [tex3]f(x+1) = (x+1) + 1 \implies f(x+1) = x+2[/tex3]

Como [tex3]f(x+1) = 2f(x) - x[/tex3] , segue que:

[tex3]2f(x) - x = x+2 \implies 2f(x) = 2x+2 \implies f(x) =x+1[/tex3]

C.Q.D

Logo, [tex3]f(2012) = 2012+1 = 2013[/tex3]

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