Olimpíadas

Mostre que não existem inteiros não negativos [tex3]m, n[/tex3] tais que [tex3]m! + 48 = 48(m + 1)^n[/tex3]

O que eu fiz:

Resposta

[tex3]m!|48 \implies m\geq 6 [/tex3] e [tex3]m+1 \geq7[/tex3] .

.

Se m+1 é composto e diferente de 4, então pelo teorema de Wilson estendido: [tex3]m! \equiv 0 \mod(m+1) [/tex3]

Como n=0 não dá solução, então: [tex3]m+1 [/tex3] divide [tex3](m+1)^n [/tex3] , divide [tex3]m! [/tex3] e portanto tem que dividir [tex3]48 [/tex3]

Os divisores de 48 são 1,2,3,4,6,8,12,16,24,48

Então m poderia ser 0,1,2,3,5,7,11,15,47

Como [tex3]m\geq 6[/tex3] , já diminuem bastante os testes, você só precisa testar 7,11,15,47

Se m+1 é primo, então: [tex3]m! \equiv -1 \mod(m+1) [/tex3]

Ou seja, teríamos algo do tipo:
[tex3]-1+48 \equiv 0 \mod(m+1) [/tex3]
[tex3]47 \equiv 0 \mod(m+1) [/tex3]

Então m+1 divide 47, mas 47 é primo, portanto só precisa testar [tex3]m=46 [/tex3]

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